模块一 余弦定理 一、趣味链接 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的视角，最后通过计算求出山脚的长度BC。 二、探索新知 如右图，在一个中三边长有关系如下： 那么，在一般的中有没有类似关于三条边长的数量关系呢？ 如图，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把分成两个直角三角形： 解：在中，； 在中，． 所以，化为：； 整理可得： 同理可得，在一般中有如下结论成立： 三、感悟定理 考虑到三角形边长结论中含有角度的余弦值，请你试用向量的方法 证明：在任意中，成立。 余弦定理：表述了三角形的边与对角的关系； 四、课堂小结 1．三角形的三个内角：，． 2． 余弦定理：；； . 3．余弦定理的常见变形：；； . 五、课堂练习 1．在中，,则 . 2．在中，若三边满足，则 . 3．在中，已知,这个三角形是 三角形. 4．在中，,上的中线长为2，求. 模块二 余弦定理及其应用 利用余弦定理，我们要解决如下问题（解三角形与实际应用）（“”，“”）： 1．已知两边及夹角，求其它两边和一角； 2．已知三条边长，求三角形的内角； 3．利用余弦定理解实际应用题。 余弦定理与边角关系 例1．已知中，，求的最大角. 三角恒等变换与正余弦定理综合 例2．在中，已知，且，试确定的形状. 例3．在中，，求的大小. 余弦定理与实际应用 例4．某缉私船在处发现北偏东45°相距9海里的处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问缉私船最快需要多少时间能追赶上该走私船？ 课 后 作 业 1． 在中，，，，则_____. 2．在中，已知三边长分别是，，则最大角的度数为_____. 3．在中，已知，则角的值为 . 4．在中，，则 ． 5．设的内角A，B，C所对边的长分别为.若， 则_____. 6．在中，，则_____. 7．在中，若，试判断的形状. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为.已知. (1)求的值； (2)若，求的面积． 参 考 答 案 模块一：课堂练习：1. 2. 3.直角 4. 模块二：例1.75° 例2.等边三角形 例3. 例4.1.5小时 课后作业：1. 2. 3. 4. 5. 6.1 7.等边三角形 8.（1）；（2） B C B D
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