2．2 函数的表示法(一) 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息． 知识点一 解析法 思考 一次函数如何表示？ 答案 y＝kx＋b(k≠0)． 梳理 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法． 知识点二 图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法． 知识点三 列表法 思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？ 答案 对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系． 梳理 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法． 函数三种表示法的优缺点： 1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．( × ) 2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图像．( × ) 3．函数y＝f(x)的图像上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．( √ ) 4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．( √ ) 类型一 解析式的求法 例1 根据下列条件，求f(x)的解析式． (1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数； 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝2x－1， 由恒等式性质，得 ∴或 ∴所求函数解析式为 f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋. (2)f＝x2＋； 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 解 ∵f＝x2＋＝2－2， ∴f(x)＝x2－2. 又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2， ∴f(x)中的x与f中的x＋取值范围相同， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， 将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x， ∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝x2－2x. 反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法． (2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式． (3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)． 跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式． (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； 考点 求函数的解析式 题点 待定系数法求函数解析式 解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得 ∴a＝1，b＝3. ∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3. (2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1； 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 解 设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (3)2f＋f(x)＝x(x≠0)． 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 解 ∵f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换， 得f＋2f(x)＝. 于是得关于f(x)的方程组 解得f(x)＝－(x≠0)． 类型二 图像的画法及应用 命题角度1 画函数图像 例2 试画出函数y＝的图像． 考点 函数图像 题点 求作或判断函数的图像 解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]． 当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1. x＝±时，y＝. 利用以上五点描点连线，即得函数y＝的图像如下： 反思与感 ... ...
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