§3 函数的单调性(一) 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性． 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f(x)＝x，f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x，f(x)＝x2的图像的升降情况如何？ 答案 两函数的图像如下： 函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的． 梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数． 很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义： 一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的． 如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？ 答案 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域． 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D 定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．( × ) 2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．( × ) 3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.( √ ) 4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．( × ) 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？ 考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的． 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有． 跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性． 考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 先画出f(x)＝的图像，如图． 所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)， 其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 类型二 证明单调性 例2 证明f(x)＝在其定义域上是增函数． 考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性 证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)． 设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x10， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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