广东省珠海市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 扫描版含答案

珠海市 2019～2020 学年度第一学期高二学业质量监测 数学参考答案 2020.1 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C B C D C B A A D B 二、填空题 13. 3 π 14. 3? 15. 4π 16. 23 17. 6 18. 1009 19. 10 6 20. 3 三、解答题 21. 【解】（1）由正弦定理可得， ( )2sin sin cos sin cos 0C A B B A? ? = ，………1分 ( )2sin cos sin cos cos sin 0C B A B A B? + = ，……………2分 2sin cos sin 0C B C? = ，…………………………………3 分 sin 0C ≠? ， 1cos 2 B∴ = ，……………………4分 ( )0,B π∈? ， 3 B π∴ = ……………………5分 （2）由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B= + ? ，…………………6分 228 16 4c c= + ? ， 2 4 12 0c c? ? = ，………………………7分 0c >? ， 6c∴ = ．……………………………………8分 1 1 3sin 4 6 6 3 2 2 2 S ac B= = × × × = ．……………………10分 22. 【解】（1）设数列{ }na 的公差为 d，则 2 1a a d= + ， 5 1 4a a d= + ，…………1分 ∵ 1a ， 2a ， 5a 成等比数列， 22 1 5a a a∴ = ，即 ( ) ( ) 2 1 1 1 4a d a a d+ = + ，……2分 整理得 2 12d a d= ，解得 0d = （舍去）或 12 2d a= = ，…………………3分 ( )1 1 2 1na a n d n∴ = + ? = ? …………………………….4 分 当 2n ≥ 时， ( )11 2 2 2 2n nn n nb S S +?= ? = ? ? ? 12 2 2 2 2 2n n n n n+= ? = × ? = ………5分 当 1n = 时， 1 2b = 满足上式，∴数列{ }nb 的通项公式为 2nnb = ．…………6分 （2）由（1）得， 2 122 log 2n a n n nc b n ?== + + ，…………………7 分 ( ) ( ) ( )3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 nnT n?= + + + + + + + +? ………………………8 分 ( )3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n?= + + + + + + + + +? ? ( )2 1 4 (1 ) 1 4 2 n n n? + = + ? ………….9 分 2 1 22 2 3 2 n n n+ ? + = + ………………………..10 分 23. 【解】（1）证明： PD ⊥? 平面 ABCD， PD BC∴ ⊥ ，…………1分 又∴正方形 ABCD中， ,CD BC PD CD D⊥ =? ， BC∴ ⊥平面 PCD，…………2分 又 DE ?? 平面 PCD， BC DE∴ ⊥ …………………3 分 PD CD=? ， E 是 PC 的中点， ,DE PC PC BC C⊥ ∩ = ， DE∴ ⊥平面 PCB ……..5 分 （2）以点 D为坐标原点，分别以直线 , ,DA DC DP为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意知： (0,0,0), (0,0, 2), (2, 2,0), (0,1, )D P B E l ，DB (2,2,0),DE (0,1,1)= = ???? ???? ………………..6 分 设平面 BDE 的法向量为 ( , , )n x y z= ? ，则 0, 0n DB n DE? = ? = ? ???? ? ???? ， 2 2 0 0 x y y z + =? ∴? + =? ，令 1z = ，得到 1 1y x= ? =， ， (1, 1,1)n∴ = ? ? …………………..8 分 又 (0, 2,0), (2,0,0), ( 2, 2,0)C A AC = ? ???? ? ，且 AC ⊥平面 PDB ， ∴平面 PDB 的一个法向量为m (1, 1,0)= ? ??? …………………………9 分 设二面角 E BD P? ? 的平面角为α 则 1 1 0 6cos | cos , | 32 3 m nα + += < >= = ? ?? ? . ∴二面角 E BD P? ? 的余弦值为 6 3 …………………………..10 分 24. 【解】（1）当 0a = 时，原不等式可化为 1 0x ? > ，不等式的解集为{ }| 1x x > ；…1分 （2） 0a ≠ 时，方程 ( )2 1 1 0ax a x+ ? ? = 的解为 1 1x = ， 2 1x a = ? …………………2 分 ①当 0a > 时，因为 11 a > ? ，所以不等式的解集为 ( )1, 1, a ? ??∞ ? +∞? ? ? ? ? ；…………3分 ②当 1 0a? < < 时，因为 1 1 a ? > ，所以不等式的解集为 11, a ? ??? ? ? ? ；…………………4分 ③当 1a = ? 时，因为 1 1 a ? = ，所以不等式的解集为?；…………………………5分 ④当 1a < ? 时，因为 1 1 a ? < ，所以不等式的解 ... ...