课件61张PPT。8.1.2 向量数量积的运算律向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【思考】 “若a·b=a·c,则b=c”成立吗?请说明原因. 提示:不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b与c不一定相等.【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (2)(a·b)2=a2·b2. ( ) (3)a·[b(a·c)-c(a·b)]=0. ( )提示:(1)×.向量(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,故不正确. (2)×.(a·b)2=(|a||b|·cos θ)2=a2b2cos2θ. (3)√.a·[b(a·c)-c(a·b)]=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0.2.已知|a|=|b|=2,a·b=2,则|a-b|= ( ) A.1 B. C.2 D. 或2【解析】选C.|a-b|= 3.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a·(a-b)= ,则向量 a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选B.因为a·(a-b)=a2-a·b= , 所以1-1×1×cos
= , 所以cos= , 因为0≤≤π,所以θ= .4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则 · 等于 ( ) A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2【解析】选D.如图所示,由题意,得BC=a, CD=a,∠BCD=120°. 所以 =a·a·cos 60°+a2= a2.类型一 向量数量积的运算律的应用 【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.02.(2020·长春高二检测)已知向量|a+b|=|a-b|,且|a|=|b|=2,则|2a-b|= ( ) A.2 B.2 C.2 D. 3.(2020·马鞍山高一检测) 如图,四边形ABCD是边长 为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点, 则 · = ( ) A. B.- C. D.- 【思维·引】 1.利用向量数量积的定义与运算律计算. 2.先利用|a+b|=|a-b|得出a·b=0,再利用a2=|a|2和 向量数量积运算律计算. 3.先分别用基向量 表示 ,再利用向量 数量积的定义与运算律计算.【解析】1.选B. a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 2.选C.因为向量|a+b|=|a-b|, 所以a·b=0,又|a|=|b|=2, 所以|2a-b|= =2 .3.选D. 因为菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°, 所以 =2×2×cos 60°=2, 又因为 所以 【内化·悟】 1.形如“a·(2a-b)”的计算将如何进行? 提示:类比单项式乘以多项式的计算方法进行.2.根据模长公式,求向量的模的问题应首先做怎样的转化? 提示:求模问题一般转化为求模的平方.3.如何解决几何图形中向量数量积的计算? 提示:一般选择已知长度与夹角的向量作基底,用基底表示要求数量积的向量,再计算.【类题·通】 向量数量积运算中的常用结论 (1)a2=|a|2. (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则.(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.【习练·破】 1.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,则(2a-b)·(a+3b)=_____.?【解析】(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2 =2|a|2+5a·b-3|b|2 =2×16+5×4×2×cos 120°-3×4=0. 答案:02.(2019·临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5, |2a+b|=5 ,|a-b|=5 ,则|a|=_____.?【解析】由已知有 将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|= . 答案: 【加练·固】 (2020·烟台高一检测)在△ABC中,已知| + |= | - |,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点(M靠 近B,N靠近C),则 · = ( ) A. B. C. D. 【解析】选B.因为| + |=| - |, 所以∠BAC=90°.又M,N分别为BC的三等分点, 类型二 向量的夹角和垂直问题 角度1 求向量的夹角 【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足 |a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 【思维·引】利用夹角公式计算. 【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b, 所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b ... ... 
