永州市2019年下期高二期末质量监测试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C B C B A B D A A 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．1 14． 15． 16．3 三、解答题（本大题共6个小题，共75分） 17.（本小题10分） 解：（1） 恒成立 …………………………………………………………5分 （2）为真命题， 或 ………………………………………………………7分 又为假命题，由（1）可得 ………………………………………………9分 综上，的范围为 ……………………………………………………………10分 18. （本小题12分） 解：（1）由抛物线的定义得，，解得， ………………………………3分 所以抛物线的方程为，代入点，可解得． ……………6分 （2）当斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立，消元得，……………………………8分 得，所以直线方程为…………………………………………………10分 当斜率不存在时， 所以过点且与只有一个公共点的直线方程为或 ……………12分 19. （本小题12分） 解：（1）， 令，得或 ………………………………………………3分 可知，时，；时，； 时，； 故，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减…6分 （2）令，有 设，， 由（1）得在上单调递增；在 上单调递减；在上单调递减 ，， 结合的图像可知，与有3个交点，故 所以的范围为 ………………………………………………12分 20. （本小题13分） 证明：（1）∵分别为正方形的边的中点， ∴ 又平面，平面，，∴⊥平面， ∵平面，∴． ∵，，∴是等边三角形， ∵为的中点．， ∴． 又，面面，，∴⊥平面． …………………………………6分 （2）设中点为，连结，则两两垂直，不妨设. 以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则，，．，． ∴,, 设平面的法向量为， 则，令，得…………………9分 而为平面的一个法向量 ∴ 二面角的余弦值为 ………………………………………………12分 (若用几何方法解题，请酌情给分) 21.（本小题12分） 解析：（1） 依题意有， ……………………………………2分 化简得：，故的方程为． ………………………5分 （2）依题意，…………………………………………………………………6分 ①当不垂直于轴时，设的方程是， 联立，得， 设， ，则， ；…6分 联立得： ， 设，， 则， ，……………………………………………8分 ， ……………………………9分 则， ……………………………10分 ②当垂直于轴时，易知， ， 此时 ……………………………………11分 综上，的取值范围是．…………………………………………………12分 （设相应给分；用其他方法的相应给分） （本小题12分） 解:（1） 又因为，所以切线方程为 …………………………………3分 （2）记，方程有实根等价于有零点， 因为，当时，；当时，， 可知为极小值，又因为 所以，在上存在一个零点，此时……………………………………6分 又因为， 所以，在上存在一个零点，此时 综上，或 ………………………………………………7分 （3）不等式对任意正实数恒成立， 即，恒成立， 当时，上式显然成立，此时 当时，上式化为，令， 则，由（2）可知，函数在 上单减，且存在一个零点，此时，即， 当时，；时，， 所以有极大值即最大值，于是 当时，不等式化为，同理可得 综上可知，，又因为， 所以正整数的取值集合为． ………………………………………………12分 ... ...
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