(课件网) 导入新课 我们已经学过空间向量的这些运算： 向量相加： c=a+b 向量相减： c=a-b 向量的数乘： c=λa 向量的数量积：c=a?b 向量的模： |a| 向量的夹角： cos c和a,b的坐标 有什么关系？ 我们知道空间向量的这些关系： 向量平行： a//b 向量垂直： a⊥b a,b的坐标 有什么关系？ 这节课我们将学习空间向量运算的坐标表示，可以解答上述问题. 3.1.5空间向量运算的坐标表示 教学目标 知识目标 1. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 2. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直; 3. 掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式. 能力目标 能应用所学的规律和公式解决简单立体几何问题. 情感目标 承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值. 教学重难点 重点 难点 根据向量坐标，判断两个向量共线或垂直. （1）掌握空间向量的坐标运算的规律; （2）根据向量坐标，判断两个向量共线或垂直. 由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算. 向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示. 平面向量的坐标表示 空间向量的坐标表示 a-b=(a1-b1,a2-b2) 设a=(a1,a2),b=(b1,b2) 则a+b=(a1+b1,a2+b2) λa=(λa1,λa2) 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3) 空间向量的数量积运算 证明： a?b=a1b1+a2b2+a3b3. 设i,j,k为单位正交基底， 则a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k. 则所以a?b=(a1i+a2j+a3k)?(b1i+b2j+b3k). 利用向量数量积的分配律以及i?i=j?j=k?k，i?j=j?k=i?k=0， 即可得出 a?b=a1b1+a2b2+a3b3. 两个向量平行的判定 a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R) 证明： a//b a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R) a//b a=λb 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 两个平面向量平行与两个平面向量平行的条件本质上是一致的，即对应坐标成比例，且比例值为λ. 注意 两个向量垂直的判定 a1b1+a2b2+a3b3=0 证明： a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a⊥b a?b=0 空间向量长度 证明： 根据数量积的定义a?b=|a|?|b|cos，可知当a=b时，cos=1，公式可化为a?a=|a|?|a|.所以， 空间向量长度的几何意义表示长方体对角线的长度. x z a O y 两个向量夹角表示 根据数量积的定义a?b=|a|?|b|cos，可知 又有a?b=a1b1+a2b2+a3b3. 注意 cos的范围[0?,180?]， 当夹角为0?或180?时，两向量平行； 当夹角为90?时，两向量垂直； 空间两点距离 在空间直角坐标系中，已知A(a1,b1,c1)，B(a2,b2,c2) 则AB=(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，则A、B两点间的距离： x y z O A(a1,b1,c1) B(a2,b2,c2) y 注意 两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后再根据长度公式推出. 如图长方体ABCD-A'B'C'D',底面边长均为1，棱AA'=2，M、N分别是A'C',AA'的中点，? （1）求CN的长; （2）求cos的值;? （3）求证:A'C⊥D'M?. A D' C' B' A' C D B N M 例题 A D' C' B' A' C D B N M x y z 解：（1）如图建立空间直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1) （2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0) ∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)， （3） ∴A'C⊥D'M? 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，求BE1与DE1所成角的余弦值. A D1 C1 B' A1 C D B E1 x y z F1 例题 A D1 C1 B' A1 C D B E1 x y z F1 解答： 课堂小结 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3) a//b a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0 课堂练习 1. 已知 ABCD,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0 ... ...
