导数及其应用 导数的概念 1..已知的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 变式1：（ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式2： （ ） A． B． C． D． 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值--用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）--（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立 等价于的最大值（）恒成立， 而（）是增函数，则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题） 例2：设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子） 解：（Ⅰ） 令得的单调递增区间为（a,3a） 令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立① 则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法） 即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 上是增函数. （9分） ∴ 于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又∴ 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求的值域； （Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒成立，只需，即分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知，函数． （Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：的极大值为， 的极小值为. （Ⅱ）∵函数是上的单调函数， ... ...
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