第三章 不等式 本章复习 学习目标 1.理解生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组)的实际背景,理解不等式一些基本性质. 2.深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,能运用二次函数的图象、性质解答不等式的有关问题.渗透函数与方程思想、数形结合思想及分类讨论思想. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组;并能用平面区域表示;能熟练解答线性规划问题,并理解其中蕴含的数形结合思想. 4.能够灵活熟练地利用基本不等式解决相关的最值问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 题组一:再现型题组 求解下列各题,并思考每道题目考查的知识点. 1.已知a>b,有下列结论:①ac>bc;②a2>b2;③;④a3>b3. 其中正确结论的序号为 . ? 2.不等式x2-2x-15≤0的解集是 .? 3.二元一次不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的 方.? 4.若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是 . ? 5.已知x>0,y>0,且x+y=2,则x2+y2的最小值为 . ? 二、运用规律,解决问题 【例1】已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a,a∈R. (1)若不等式f(x)≤0的解集是[1,3],求实数a的值. (2)是否存在实数a,使得不等式f(x)≤0有实数解?若存在,求出所有的实数a;若不存在,请说明理由. (3)解关于x的不等式f(x)≤0. 师生交流1:本题中所体现的思想方法可以推广到一般情形吗?请你尝试总结一下. 【例2】已知实数x,y满足 (1)求的最大值和最小值; (2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最小值为3,求实数a的值. 师生交流2:本题的解答注重什么思想?体现在哪里? 【例3】已知正实数x,y满足x+2y=1. (1)求xy的最大值; (2)求的最小值. 师生交流3:第(1)问还有其他解法吗?对于“二元函数的最值问题”你认为有哪些常用解法?既然有这些方法,在解答具体问题时,应如何选择呢? 三、变式训练,深化提高 变式训练1:若对任意的实数x∈[1,3]时,不等式f(x)=x2-(a+1)x+a≤0恒成立,求实数a的取值范围. 变式训练2:若将例2改为:已知实数x,y满足若z=x+y的最小值为5,求实数k的值. 变式训练3:将例3中的“x+2y=1”改为“x+y=xy”,求xy的最小值. 四、反思小结,观点提炼 1.本节课我们重点复习了哪些知识? 2.在这些问题的求解过程中,体现了哪些数学思想? 参考答案 一、设计问题,创设情境 题组:再现型题组 1.④ 2.[-3,5] 3.右下 4. 5.2 二、运用规律,解决问题 【例1】解:(1)由题意,有解得a=3. (2)因为Δ=(a+1)2-4a=(a-1)2≥0,所以当a=1时,不等式f(x)≤0有解为{x|x=1}; (3)当a>1时,{x|1≤x≤a};当a=1时,{x|x=1};当a<1时,{x|a≤x≤1}. 师生交流1: 规律一:不等式f(x)≤0、方程f(x)=0都可以看做是y=f(x)的特殊情形. 因此,不等式问题的求解策略,一般有两个:一是直接求不等式的解集;二是构造相应的函数,将不等式问题转化为函数的值域、最值问题或利用函数的图象求解. 如本题中不等式的能成立、恒成立问题,可以通过求不等式的解集完成;可以转化为相应函数的最值问题求解;也可以根据图象求解. 【例2】解:作出可行域,如图所示(阴影部分). (1)因为表示可行域内的点(x,y)与点P(-1,1)连线的斜率,结合图形可以知道,该斜率介于直线PC和直线PA之间. 解方程组 得点C的坐标为x=,y=. 又A(0,6),所以,即≤5. 所以最大值为5,最小值为. (2)z=ax+y可化为y=-ax+z,它表示斜率为-a的一族直线,因为a<0, 所以-a>0,故直线经过点C时,z最小为3. 将x=,y=代入3=ax+y,解得a=. 师生交流2:数形结合思想;例如几何意义,甚至更细致一些是哪两个点之间的连线斜率都要观察出来;再如目标函数对应的直线的斜率与边界直线斜率之间的比较;再如直线过定点问题等等. 规律二:运用数形结合思想解答问题时,首先要观察数学式子中的各个系数对图象的制约,与图象对应起来;然后,在图形中观察出的规律、结论也要对应到数学式子中的相应系数上来. 【例3】解:(1 ... ...
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