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课件网) 把一条没有弹性的细绳绕在 一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅 笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲 线，这条曲线的形状怎样？ 导入新课 y 我们来解决新课导入中的问题： 先分析动点（笔尖）所满 足的几何条件，如图所示， 设开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一 段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM 的长就是弧AB的长，这是动点满足的条件， 我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线， 相应的圆叫做渐开线的基圆. ） 根据动点的几何条件，设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x,y)，显然，点M由角 唯一确定.取 为参数，点B的坐标为 ，从而： 由于向量 是与 同方向的单位相量，所以向量 与向量 同方向的单位向量，因此 即： 解得： （ 为参数） 这就是圆的渐开线的参数方程 渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程. 1.当 时，求出渐开线 上对于点A,B,并求出 点A,B间的距离. 解：将 分别代入 得到A,B两点的坐标是， 由两点间的距离公式得， 如果在自行车的轮子上喷一 个白色印记，那么当自行车在笔 直的道路上行驶时，白色印记会 画出什么样的曲线呢？ 导入新课 我们来解决新课导入中的问题： 如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图 形，设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时 位于O处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心 滚动作圆周运动，转过 角后，圆与直线 相切于点A，线段OA的长等于弧MA的长， 即OA=r , 这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动 过程中满足的几何条件，我们把该曲线 的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线 x y 根据题意建立如图 直角坐标系，设圆的半径为r， 设开始时定点M 在原点， 圆滚动了 后与x轴相切于点A，圆心在点B, 从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的 坐标为（x,y）取 为参数,依题意得 因此摆线的参数方程为 （ 为参数） x y 一、选择题（本题每小题7分，共42分） 1.曲线 与X轴交点的直角坐标为（ ） 2.直线 上对应两点间的距离为（ ） 课堂练习 3.直线 （t为参数）的倾斜角是（ ） 4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（ ） 5.直线 是参数被圆 截得的弦长是（ ） 6.在方程 （ 为参数）所表示的曲线 上的点是（ ） 二.填空题（每小题6分，共24分） 1.直线x+y=1的一个参数方程是____ 2.椭圆 （ 为参数）的离心率为___ 3.将参数方程 转化为直角坐标方 程是___，该曲线上的点与定点A(-1,-1)距离的最 小值是____ 4.O是坐标原点，P是椭圆 （ 是参数） 上离心角为 所对应的点，那么直线OP 的倾斜角的正切值是_____ 三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分） 1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为 （1）写出直线的参数方程； （2）设直线与圆 相交于两点A,B， 求点P 到A,B两点的距离之积。 2.圆的直径AB上有两点C,D，且 |AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点， 求|PC|+|PD|的最大值. 一.选择题： 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 二.填空题： 1. 参考答案 三.解答题： 1.解：（1）直线的参数方程为 （ 是参数） （2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为 将直线的参数方程代入圆的方程 并整理得 因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以 2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为 因为|AC|=|BD|=4，所以 C,D的坐标为: 因为点P在圆上,可设点P的坐标为 所以： 当 时 所以 最大值为 参 数 方 程 参数方程的概念 特殊曲线的到参数方程 参数方程与普通方程的互化 圆锥曲线的参数方程 直线的参数方程 渐开线与摆线的参数方程 ... ...
