【好题必练】第19章 矩形、菱形与正方形全章难点突破（二）：菱形的性质和判定专题训练题（含答案）

第19章 矩形、菱形与正方形 难点突破专题训练（六） 菱形的性质和判定 突破点1 与菱形性质有关的探究题 1.如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某条线段相等（只需证明一组线段相等即可）. （1）连接 ； （2）猜想： = ； （3）证明（说明：写出证明过程的重要依据）. / 2.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF． （1）求证：△EFC是等边三角形； （2）试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值． / 突破点2 菱形性质与判定的综合 3.如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分边AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF. （1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证：四边形AECF是萎形； （3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？ / 突破点3 菱形与反比例函数的综合 4.如图，直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=交于A（3，），B（-5，a），两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，判断四边形CBED的形状，并说明理由. / 参 考 答 案 1.解：（1）如下图，连接AF. （2）AF=AE. （3）四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABF=∠ADE. 在△ABF和AADE中，， ∴△ABF≌△ADE， ∴AF=AE. / 2.（1）证明：连接AC， / ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠1=∠2=∠BAD，AD∥BC，AB=BC， ∴∠B+∠BAD=180°， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∵AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=BC， 在△AFC和△BEC中，， ∴△AFC≌△BEC（SAS）， ∴FC=EC，∠4=∠3， ∵AD∥CB， ∴∠4+∠5=∠2=60°， ∴∠3+∠5=60°， ∴△EFC是等边三角形； （2）△AEF的周长有最小值， 理由：当CE⊥AB时CE最短，由△CEF是等边三角形， ∴EF也是最短的． CE是边长为2等边△ABC的高， ∴CE=，EF=， ∴AE+AF+EF=2+． ∴△AEF周长的最小值为：2+． 3.解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD. ∵CF∥AB， ∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED. 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）. （2）∵△AED≌△CFD， ∴AE=CF. ∵EF为线段AC的垂直平分线， ∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA， ∴四边形AECF为菱形 （3）∵AD=3，AE=5， ∴根据勾股定理得：ED=4， ∴EF=8，AC=6， ∴S菱形AECF=8×6÷2=24， ∴菱形AECF的面积是24. 4.解：四边形CBED是菱形. ∵双曲线y=过A（3，）， ∴k=20. 把B（-5，a）代人y=， 得a=-4. ∴点B的坐标是（-5，-4）. ∵AD⊥x轴于D， ∴D（3，0）. 设直线AB的解析式为y=mx+n， 将A（3，），B（-5，-4）代入得： ， 解得m=，n=， ∴直线AB的解析式为y=x+， ∴点C的坐标是（-2，0）. ∵BE∥x轴， ∴点E的坐标是（0，-4）， 而CD=5，BE=5，且BE∥CD， ∴四边形CBED是平行四边形. 在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2， ∴ED==5， ∴ED=CD， ∴□CBED是菱形. / ... ...