第1章 勾股定理 / // 专题1 勾股定理与方程相结合的应用 在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解． 例1 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？ 【解析】注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求． 解：设AE的长为x m，由题意，得CE=(AC-x) m. ∵AB=DE=2.5 m，BC=1.5 m，∠C=90°， ∴AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=22. ∴AC=2 m. ∵BD=0.5 m，∴CD=CB+BD=1.5+0.5=2 m. 在Rt△ECD中， CE2=DE2-CD2=2.52-(1.5+0.5)2=1.52. ∴2-x=1.5 m，x=0.5 m， 即AE=0.5 m. ∴滑杆顶端A下滑了0.5 m． 专题2 勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角． 例2 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8 m，AD=BC=6 m，AC=9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？ 【解析】本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形． 解：∵AD2+DC2=62+82=100，AC2=92=81， ∴AD2+DC2≠AC2. ∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°. 又∵按标准应为长方形，四个角应为直角， ∴该农民挖的地基不合格． ∴这个三角形是直角三角形． 专题3 利用勾股定理及其逆定理解决立体图形中两点间的最短距离问题 利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形． 例3 如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是_____cm. / 【解析】将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD∥AB，且AD=BC=底面周长，BS=DF=1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长度．过S点作SM⊥CD，垂足为M，由条件知，SM=AD=×60=30 cm，MC=SB=DF=1 cm，所以MF=18－1－1=16 cm， 在Rt△MFS中，由勾股定理得SF2=162+302=342，所以SF=34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm. / 素养解读 这一章运用转化思想的地方很多，如勾股定理是从形到数的转化；直角三角形的判定条件是从数到形的转化；如果无法直接用勾股定理来计算，利用转化的数学思想构造出直角三角形再解；求立体图形表面上两点间的最短距离就是把立体图形的问题转化为平面图形的问题． 例 如图①，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m，另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？ / 【解析】分别用AB，CD表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD，过D作AB的垂线，垂足为E，可构造出Rt△AED，利用勾股定理解决． 解：如图②，作DE⊥AB于点E， ∵AB=13 m，CD=8 m， ∴AE=5 m. 由BC=12 m，得DE=12 m. ∵在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2， ∴AD=13m. ∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13m． 【素养点评】利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．常见的方法有：利用高(作垂线)构造 ... ...
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