河北省唐山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 扫描版

唐山市2019～2020学年度高二年级第一学期期末考试 数学参考答案及评分标准 选择题： A卷：CBCDA BBDCA CA B卷：BCCDA ABDCA CB 二、填空题： （13）2 （14）3 （15） （16）或－1，(，－1)∪(，1) （第一空2分，第二空3分） 三、解答题： （17）解： 因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题． …2分 方程(x－m)2＋(y－1) 2＝m2－4m＋3表示圆心在第一象限的圆， 则有解得0＜m＜1，或m＞3． ① …5分 因为方程＋＝1表示双曲线，所以(m＋1)(2m－1)＜0， 解得－1＜m＜． ② …8分 由①②可得，实数m的取值范围为(0，)． …10分 （18）解： （Ⅰ）根据题意，设圆C的方程为(x－2)2＋y2＝r2， 若圆C被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2，则r2＝22＋()2＝9， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9． …5分 （Ⅱ）当斜率不存在时，直线l的方程为x＝5，显然圆心(2，0)到x＝5的距离为3，正好等于半径，符合题意； …7分 当斜率存在时，设斜率为k，则过M点的直线方程为：y－5＝k(x－5)， 即kx－y＋5－5k＝0，圆心到直线的距离等于半径3，d＝＝3，解得k＝， 所以直线l的方程为8x－15y＋35＝0． …11分 综上，所求的直线方程为x＝5或8x－15y＋35＝0． …12分 （19）解： （Ⅰ）取PD中点M，连接AM，ME， 因为E，M分别是棱PC，PD的中点，所以ME＝DC，ME∥DC， 因为F是AB的中点，且AB＝CD，AB∥CD， 所以AF∥DC，且AF＝DC，即AFME． 故四边形AFEM是平行四边形，从而有EF∥AM．[ 又因为EF(平面PAD，AM(平面PAD， 所以EF∥平面PAD． …5分 （Ⅱ）连接AC，BD交于点O，连接OP， 由题意得PO⊥平面ABCD，AC⊥BD， 以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，P(0，0，2)， E(－，0，)，F(，，0)， ＝(－2，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(2，，－)．…8分 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)． 由得可取x＝1，得n＝(1，1，1)． …10分 设EF与平面PAB所成的角为(，所以sin(＝|cos(，n(|＝＝， 即直线EF与平面PAB所成角的正弦值为． …12分 （20）解： （Ⅰ）将y＝kx＋1代入x2＝2py，得x2－2pkx－2p＝0． 其中Δ＝4p2k2＋8p＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p． …2分 ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－2p＋1＝0，解得p＝． 所以抛物线E的方程为x2＝y． …6分 （Ⅱ）k1，k2的关系式为k1＋k2＝0． …7分 证明：由（Ⅰ）知，x1＋x2＝2pk＝k，x1x2＝－2p＝－1． k1＝＝，同理k2＝． …8分 则k1＋k2＝＋＝＝x1＋x2＋ …11分 把x1＋x2＝2pk＝k，x1x2＝－2p＝－1，代入得k1＋k2＝k＋(－k)＝0 即：k1＋k2＝0． …12分 （21）解： （Ⅰ）证明：因为△ABC与△A1BC均为等边三角形，AB＝2，O为BC的中点， 所以A1O⊥BC，AO⊥BC． 在△AOA1中，A1O＝AO＝，A1A＝， 从而有AO2＋A1O2＝AA12，所以A1O⊥AO， 又因为AO∩BC＝O， 所以A1O⊥平面ABC， 又因为A1O(平面A1BC， 所以平面A1BC⊥平面ABC． …5分 （Ⅱ）以OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，)，＝(－，0，)，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面AOA1，＝(0，1，0)是平面AOA1的一个法向量， …7分 设＝(，其中0≤(≤1． 所以＝＋＝＋(＝＋(＝(－(，1，()， ＝(0，0，)， 设平面A1OM的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1，则n＝(1，(，0)， …9分 所以|cos(，n(|＝＝＝，解得(＝． …11分 即存在一点M，且＝时，二面角A-A1O-M的大小为． …12分 （22）解： （Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，所以a＝b， 即椭圆C的方程为＋＝1，将点(2，)的坐标代入C的方程，得b2＝4， 则椭圆C的方程为＋＝1． …4分 （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|OP|＝2，|MA|＝|MB|＝， 所以|MA| ... ...