思想方法训练4 转化与化归思想 思想方法训练第8页 ? 一、能力突破训练 1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=?,则实数a的取值范围是( ) A.a>2 B.a<-2 C.a>2或a<-2 D.-2
2或a<-2. 2.(2019东北三省四市一模,8)已知e1,e2是两个单位向量,且夹角为,则e1+te2与te1+e2的数量积的最小值为( ) A.- B.- C D 答案:A 解析:∵(e1+te2)·(te1+e2)=t+(t2+1)e1·e2+t=t+(t2+1)|e1||e2|cos +tt2+2t+(t+2)2-, ∴当t=-2时,可得最小值为- 3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为( ) A B.[-1,0] C.[0,1] D 答案:A 解析:设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2, 0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A. 4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:设P(x,y),则x2+y2=1. 即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,dmax=3. 5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:A 解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数. 又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A. 6.已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 答案:C 解析:因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210). 设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsin t+4=5,所以at3+bsin t=1,所以f(-t)=-at3-bsin t+4=-1+4=3. 7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 .? 答案:(-13,13) 解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1. ∵d=, ∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13). 8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .? 答案:(-2,6) 解析:f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数, 所以f(x2-ax+a)+f(3)>0?f(x2-ax+a)>-f(3)?f(x2-ax+a)>f(-3)?x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0?-20). (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)设x,f(x)的最小值是1-,最大值是3,求实数m,n的值. 解:(1)f(x)=sin 2x+mcos2x-m+n =sin 2x+m(2cos2x-1)+n =m+n=msin+n. ∵m>0,∴由2kπ+2x+2kπ+,k∈Z, 即kπ+x≤kπ+,k∈Z, 可知函数f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z. (2)当x时,2x+, 则-sin1. ∵f(x)的最小值是1-,最大值是3, ∴f(x)的最大值为m+n=3,最小值为-m+n=1-,得m=2,n=1. 10.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意知当a=0时,f(x)=x3-3x, 所以f'(x)=2x2-3. 又f(3)=9,f'(3)=15, 所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0. (2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a在x∈(0,+∞)时恒成立. 设g(x)=,则g'(x)=, 当00;当x>时,g'(x)<0, 所以当x=时,g(x)取 ... ... 