新定义阅读理解题 1. 材料：解形如(x＋a)4＋(x＋b)4＝c的一元四次方程时，可以先求常数a和b的均值，然后设y＝x＋，再把原方程换元求解．用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”． 例：解方程：(x－2)4＋(x－3)4＝1 解：∵－2和－3的均值为－，∴设y＝x－，原方程可化为(y＋)4＋(y－)4＝1. 去括号得(y2＋y＋)2＋(y2－y＋)2＝1. y4＋y2＋＋2y3＋y2＋y＋y4＋y2＋－2y3＋y2－y＝1. 整理得2y4＋3y2－＝0.(成功地消去了未知数的奇次项) 解得y2＝或y2＝－(舍去)． ∴y＝±，即x－＝±.∴x＝3或x＝2. (1)用阅读材料中这种方法解关于x的方程(x＋3)4＋(x＋5)4＝1130时，先求两个常数的均值为_____．设y＝x＋_____．原方程转化为：(y－_____)4＋(y＋_____)4＝1130； (2)用这种方法，求解方程(x＋1)4＋(x＋3)4＝706. 2. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法———更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数． 例如：求91与56的最大公约数 解：91－56＝35， 56－35＝21， 35－21＝14， 21－14＝7， 14－7＝7， 所以，91与56的最大公约数是7. 请用以上方法解决下列问题： (1)求108与45的最大公约数； (2)求三个数78、104、143的最大公约数． 3. 材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余． 材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k≠0)时，这个数叫n位k阶数．如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数． (1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除； (2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1≤m≤6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数． 4. 我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数． (1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a＝2n＋1，b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数； (2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)(m、n为正整数，m＞n)时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长． 5. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数———纯数”． 定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”． 例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． (1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； (2)求出不大于100的“纯数”的个数． 6. 大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观 ... ...
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