(
课件网) 两等式间有联系吗？ 这就是我们今天要学习的正弦定理，事实上定理对 任意三角形均成立． 下面我们来证明正弦定理对任意三角形均成立。 一、复习与引入 证法一 （作高法） 如图，当∠C为锐角时（不妨设∠C为最大角），过 点A作AD⊥BC于D，此时有 当∠C为钝角时，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于 点D，此时有： , 且 仿上可得 证法二 （向量法） 在△ABC中，有 其中，当∠C为锐角或直角时，α＝90°－C； 当∠C为钝角时，α＝C－90°. 故可得csin B－bsin C＝0， 正弦定理 思考： 从正弦定理的表达形式上，你能说明正弦定理的基本作用吗？ 答 (1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C； ①已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角； ②已知两角和任一边，求其他两边和一角. 例1 如图，在△ABC中，A＝30°，C＝100°， a＝10，求b，c.(精确到0.01) 解 因为A＝30°，C＝100°， 所以B＝50°. 三、 正弦定理的应用 因此，b，c的长分别为15.32和19.70. 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． 跟踪训练1 在△ABC中已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值. 解 根据三角形内角和定理， A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 例2 根据下列条件解三角形(边长精确到0.01，角度 精确到0.1°) (1)a＝16，b＝26，A＝30°； (2)a＝30，b＝26，A＝30°. 所以B1≈54.3°，或B2＝180°－54.3°＝125.7°. 由于B2＋A＝125.7°＋30°＝155.7°<180，故B2也符合要求. 从而B有两解(如图)：B1＝54.3°或B2＝125.7°. 当B1＝54.3°时，C1＝180°－(A＋B1) ＝180°－(30°＋54.3°)＝95.7°， 当B2＝125.7°时，C2＝180°－(A＋B2) ＝180°－(30°＋125.7°)＝24.3°， 所以B1＝25.7°或B2＝180°－25.7°＝154.3°. 由于B2＋A＝154.3＋30°＝184.3°>180°， 故B2不符合要求，从而B中有一解(如图)， C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋25.7°)＝124.3°， 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦定理可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论. 跟踪训练2 在△ABC中， ，求A,B,b. 反思与感悟 利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角. 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据正弦值求角时，要根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值. 2.在△ABC中，下列式子与 的值相等的是 （ ） 3.在△ABC中，已知A=30°，B=60°，a=10，则b等于（ ） 小结 1、 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 2、正弦定理能解什么类型的三角形问题. (
课件网) 1.正弦定理的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝ ； a∶b∶c 2R (3)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (4)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ . 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 探究一 三角形面积公式的拓展 思考1 △ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ 答 ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A. 思考2 将思考1中得 ... ...
