导数在实际生活中的应用(1)自主学习任务单 一、学习目标 1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用，能全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值． 2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 3.能通过实际问题的研究，提高自己分析问题、解决问题以及数学建模能力． 二、学习过程 1．导入新课：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.导数是求函数最大(小)值的有力工具, 那么用导数法求函数极值的方法和步骤是什么？求最值问题的步骤是什么？ ? 2．问题导学：你能够用什么方法解决下面的最值问题？ 问题1 把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？ 开拓思路：如果设矩形的一边长为(cm),那么另一边长如何表示？ 问题2 把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？ 开拓思路：如果设其中一个正方形边长为(cm)，那么这两个正方形的面积能表示出来吗？ 问题3 做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？ 开拓思路：如何设水箱的高与底面棱长？他们之间的关系是什么？ 3．例题导析 例1 在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长是多少时，箱子容积最大？最大容 积是多少？ 分析：本题为导数在几何方面的应用. 开拓思路1：如果设箱底边长为(cm),则箱高如何表示？体积与它们之间具有怎样的关系？ 开拓思路2：如何确定函数的定义域？ 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，如何确它的高与底与半径，才能使它的材料最省？ 开拓思路：如何将圆柱的表面积、体积用高和底面半径分别表示出来？ 变式: 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使体积最大？ 4.反馈练习 （1）求内接于半径为的球且体积最大的圆柱的高． （2）已知一个圆锥的母线长为20cm，那么当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？ 5. 反思总结 （1）解有关函数最值的实际问题，需要考虑什么？ （2）解决实际问题时，如果函数在此区间上只有一个极值点，你有何想法？ （3）如何求解各种函数最值问题？ 三、效果检测 1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？ 1.4 导数在实际生活中的应用（1）参考答案 二、学习过程 1．导入新课： 答：用导数法求函数极值的方法和步骤： ①确（确定函数定义域）②求（求函数的导数） ③列（列出函数的单调性表）④写（写出分界点出函数的极值） 求最值问题的步骤：先求极值，再与端点值比较得到最值. 2．问题导学: 问题1：解：设矩形的长为(cm),则宽为(cm)， 所以矩形面积，易知，当且仅当，即(cm)时，面积最大. 问题2：解：设其中一个正方形边长为(cm)，则另一个正方形边长为(cm)， 所以两个正方形面积之和为，易知，(cm)，即两个正方形边长都为12.5cm时，这两个正方形的面积之和最小. 问题3：解：设此水箱的高为dm，底面棱长为dm，， 所以其表面积为 此题用函数不好解决，可以用导数进行求解. 3．例题导析 例1 分析：本题为导数在几何方面的应用. 解：设箱底边长为(cm),则箱高为， 箱子的容积为 由，解得(舍)，. 且当时，；当时，. 所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值，即 . 例2 解：设圆柱的高为，底面半径为，则表面积， 又，则,故, 由，解得,从而，即. 当时，；当时，. 因此，当时，取得极小值，且是最小值. 答：当罐高与罐底的直径相等时，用料最省. 变式: ... ...
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