专题03 折叠与落点有迹性 【例题】（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于 【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB 上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形ABC的边上时，AE 的长为 ． 1.（2019·洛阳二模）如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为 ． 2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为 ． 3.（2018·信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为 ． 4.（2019·三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ． 5.（2019·南阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为 ． 6.（2019·开封模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 cm． 7.（2019·开封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为 ． 8.（2019·枫杨外国语三模）如图，在?ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ． 9.（2019·中原名校大联考）如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为 ． 10.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ． 专题03 折叠与落点有迹性 【例题】（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于 【答案】10或. 【解析】解：点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆，圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’， 如图作出图形， 分两种情况计算： ①连接BB’，过B’作B’E⊥BC于E，如下图所示， 由题意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP， ∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°， ∴∠APB=∠CB’E，∴△CB’E∽△APB，∴,即， 设BP=x，则B’P=x，EP=4－x，B’E=x， 在Rt△B’PE中，由勾股定理得：，解得：x=10（舍）或x=， 即BP=； ②过A作AH⊥MN于H，如图所示， ∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5, ∴B’H=3，B’G=8， 设BP=x，则B’P=x，PG=x－4， 在Rt△PGB’中，由勾股定理得：， 解得：x=10，即BP=10; 综上所述，答案为：10或. 【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为 ... ...
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