苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含知识讲解，巩固练习）：23对数(基础)(word)

对数及对数运算 【学习目标】 1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a(1， N>0， b(R． 2．对数具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， ． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga（M(N）=logaM(logaN， loga（M·N）=logaM·logaN， loga． 要点三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: （1） 令 logaM=b， 则有ab=M， （ab）n=Mn，即， 即，即:． （2），令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论: ． 【典型例题】 类型一、对数的概念 例1．求下列各式中的取值范围： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）且 【解析】（1）由题意，，即为所求． （2）由题意 即． （3）由题意 解得且． 【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1． 举一反三： 【变式1】函数的定义域为 ． 【答案】 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】运用对数的定义进行互化． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段． 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： （1） （2） （3）lg1000=x （4） 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4． 【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x． （1）； （2）； （3）10x=1000=103，于是x=3； （4）由． 【变式2】计算：并比较． 【解析】 ． 类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．（2019 广东湛江期中）不用计算器计算： 【答案】 【解析】原式 【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数． 举一反三： 【变式1】求的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0） 【答案】 【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算． ． 类型 ... ...