第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义. 2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别. 3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:一辆小车,在力F的作用下,从A处到B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动过程中所做的功? (1)力F所做的功W= .? (2)请同学们分析公式的特点:W(功)是 量,F(力)是 量,s(位移)是 量.? (3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量. 二、信息交流,揭示规律 1.数量积的概念 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做 a与 b的数量积(或内积),记作 .? 问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同? 问题3:数量积的几何意义是什么? 2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果: (1)当
=0时, ;当=180°时, .? (2)cos= .? (3)当b=a时,有=0,所以a·a=|a||a|= ,即|a|= .? (4)当=90°时,a⊥b,因此,a·b=cos90°=0,因此对非零向量a,b,有 ?a⊥b.? 3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律: (1)? (2)? (3)? 注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c. 三、运用规律,解决问题 【例1】判断下列各题正确与否: (1)若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.( ) (2)若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.( ) (3)若a≠0,a·b=0,则b=0.( ) (4)若a·b=0,则a,b至少有一个为零.( ) (5)若a≠0,a·b=a·c,则b=c.( ) (6)若a·b=a·c,则b=c当且仅当a≠0时成立.( ) (7)对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c). ( ) (8)对任意向量a,有a2=|a|2 .( ) 【例2】已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求a·b. 【例3】已知|a|=|b|=,a·b=-,求. 【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角. 四、变式演练,深化提高 练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形? 练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120°,求. 五、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识? 布置作业 课本P108习题2.4A组第1,2,3题. 参考答案 一、设计问题,创设情境 问题1:(1)力F所做的功W=Fscosθ. (2)W(功)是标量,F(力)是矢量,s(位移)是矢量. (3)W=F·s. 二、信息交流,揭示规律 1.数量积的概念 |a|·|b|cosθ a·b 问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量. 问题3:数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.(1)a·b=|a||b| a·b=-|a||b| (2) (3)|a|2 (4)a·b=0 3.(1)a·b=b·a (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (3)(a+b)·c=a·c+b·c 三、运用规律,解决问题 【例1】(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× (8)√ 【例2】解:a·b=|a|·|b|·cos120°=5×4×(-)=-10. 【例3】解:cos==-. 由于0≤≤180°,所以=135°. 【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=0?7a2+16a·b -15b2=0 ① (a-4b)(7a-2b)=0?7a2-30a·b+8b2=0 ② 两式相减:2a·b=b2, 代入①或②得:a2=b2, 设a,b的夹角为θ,则cosθ=,∴θ=60°. 四、变式演练,深化提高 练习1:解:四边形ABCD是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b ... ... 
