第十六讲 面积与面积方法 【趣题引路】 如图16-1（1），五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图16-1（2）所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图16-1（2）中的折线CDE）还保留着.张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路的方案（不计分界小路与直路的占地面积）. （1）写出设计方案，并在图16-1（2）中画出相应的图形； （2）说明方案的设计思路. 解析 （1）画法如图16-2，连结EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连结EF，EF即为所求直路的位置. （2）设EF交CD于点H，由上面得到的结论，可知 【知识延伸】 一、整体与部分 例1（第12届“希望杯”试题）如图16-3所示，矩形ABCD的面积是300，H、E、F分别是AD、BC、CD上的点，且AD=4HD，BC=3BE，F是CD的中点，求图中阴影部分的面积. 解析 解法一： AD=4HD， ∴ AH=AD. ∴ 同上，可得 ∴ 阴影部分的面积= 解法二：如图16-4，连结BD、ED. ∵ AD=4HD， ∴ ∵BC=3BE， ∴ ∵F是CD的中点，BC=3BE， ∴ ∴阴影部分的面积为 点评：不规则图形的面积，我们通常利用整体与部分的关系，将它转化成几个规则图形的和或差. 例2如图16-5，正方形的边长是a，分别以四条边为直径画半圆，则图中4个半圆弧所围成的阴影部分的面积是 . 解析 阴影部分的面积= 点评：四个半圆重叠成阴影部分，形成了一个正方形，所以四个半圆的面积减去正方形的面积等于阴影部分的面积. 二、面积与线段比的相互转化 例3如图16-6，梯形ABCD被对角线分成4个小三角形，已知△A0B的面积为25，△BOC的面积为35，那么梯形ABCD的面积是 . 解析 ∵ AB∥DC， ∴（同底等高） ∴ 即 又∵ ∴ ∴ 故选A. 点评：利用同底等高，可以将三角形的面积进行转化同时，利用线段之比，可以将面积联系起来 试一试，你能求出题中的值吗？ 根据的值，你能得到什么猜想？ 如果AB//CD，则有将△AOB绕着O点旋转一定的角度，则得到图16-7（2），仍然有，故得到图16-7（3）中的规律：如果DE//BC，则有 在AB//CD的条件下，通过三角形的面积与三角形的底和高的关系，很容易证明.证明略.这一个结论在面积问题、线段比问题中有着广泛的应用. 例4（第14届“希望杯”全国初一数学邀请赛第一试试题）如图16-8，△ABC的面积为25，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积为 ，四边CDEF的面积为 解析 解法一：如图16-9，连结DF. 设 ∵AE=ED， ∴ ∵ BD＝2DC, ∴ S△FDC＝S△FBD＝（m＋n）． 又∵ S△ABC＝25 cm2， ∴ （m＋n）＋（m＋n）＋（m＋n）＝25 cm2， ∴ m＋n＝10 cm2， 即阴影部分的面积为10 cm2． ∵ S△DEB＝S△ADB＝×S△ABC＝cm2, ∴ S△AEF＝10－＝cm2, 四边形CDEF的面积＝S△DEF＋S△FDC＝n＋（m＋n）＝cm2． 解法二：如图16－10，连结EC． 图16－10 ∵ BD＝2DC, ∴ S△ADB＝S△ABC＝cm2, S△EDC＝S△BDE， ∵ AE＝ED， ∴ S△BDE＝S△AEB＝S△ADB＝cm2, ∴ S△EDC＝S△BDE＝cm2． ∵ ＝＝＝， ∵ ＝＝． 又∵ S△AEF＋S△CEF＝S△ABC－S△ABD－S△EDC＝25－－＝（cm2）． ∴ S△AEF＝cm2, S△CEF＝cm2, ∴ 阴影部分的面积＝＋＝10 cm2， 四边形CDEF的面积＝＋＝（cm2） 解法三：如图16－11，作DP//AC，交BF于点P． 图16－11 ∵ DP//AC，AE＝ED，BD＝2DC, ∴ ＝＝ ＝＝1 ∴ ＝， ∴ S△ABF＝S△ABC＝10 cm2, 又∵ S△BDE＝S△AEB＝S△ADB＝cm2, ∴ S△BDE＋S△AEF＝10 cm2, SCDEF＝S△ABC－S△ABF－S△BDE＝cm2． 解法四：如图16－12，作DP//BF，交AC于点P． 图16－12 ∵ DP//BF，AE＝ED，BD＝2DC， ∴ ＝＝， ＝＝2 ∴ ＝， ∴ ＝， ∴ S△AEF＝S△AEB＝×＝（cm2） ... ...
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