【七年级数学培优竞赛拔高】第十七讲 最大公约数与最小公倍数(含答案)

第十七讲 最大公约数与最小公倍数…. 【趣题引路】 如图，一个圆圈上有n(n<100)个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B孔；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？ 【解折】依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n-1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，面圈上的孔数是5的倍数，因此，有5|n-1；又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明圈7|n． 因（3，5）=1，故15|n-1．因n<100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔． 【知识延伸】 1．（1）设a1，a2是两个整数，如果d|a1，d|a2，那么d就称为a1和a2的公约数．一般地，设a1，……ak是k个整数，如果d|a1，…，d|ak，那么d就称为a1，ak的公约数． （2）设a1，a2，是两个不全为零的整数，那么a1，a2的公约数中最大的称为a1和a2的最大公约数，记作(a1，a2)．一般地，设a1，…ak是k个不全为零的整数，那么a1，…，ak的公约数中最大的称为a1，…ak．的最大公约数，记作(a1，…，ak). a1，…，ak的公约数一定是最大公约数的约数． 2．设a1，a2是两个均不等于零的整数，如果a1|l，a2|l，则称l是a1，a2的公倍数，a1，a2，的正的公倍数中最小的称为a1与a2的最小公倍数，一般地，设a1，…，ak是k个均不等于零的整数.如果a1|l，…，ak|l，则称l是a1，…，ak！的公倍数，其中正的公倍数中最小的称为a1，…，ak的最小公倍数，其他公倍数一定是最小的公倍数的倍数． 3．若将a，b进行质因数分解，并将它们表示成 ， 其中P1，P2…，P3为质数：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βm．为非负整数，且设ti、si分别为αi、βi(i=1，2.…，m)中的较小者与较大者，则 （a，b）=， [a，b]= ． 4．最大公约数与最小公倍数的重要性质 （1）如果b|a，则（a，b）=b，【a，b】=a． （2）对于任意的正整数m，有（am，bm）=m(a，b)，[am，bm]=m[a，b] ． （3）若a=bq+r(a>b，0≤r