第十四讲 角 【趣题引路】 如图14-1所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= . 解析 利用图形的轴对称性易知 ∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°. 【知识延伸】 一、角的计数问题 例1 如图14-2，由O点引出7条射线，若OA⊥OE，OC⊥OG，∠BOC>∠FOG， 则图中以O为顶点的锐角有 个. 解析 以OA为边的锐角有3个 以OB为边的锐角（不含∠AOB）共3个， 以OC为边的锐角（不含∠COA、∠COB）共3个， 以OD为边的锐角（不含∠DOC、∠DOB，∠DOA）共3个， 以OE为边的锐角（不含∠EOD、∠EOC，∠EOB）共2个， 以OF为边的锐角（不含∠FOE、∠FOD，∠FOC）共1个， ∴共计15个. 点评 与线段的计数方法类似，可以分别找出以OA、OB……为边的锐角；也可以按角的大小顺序来数；还可以，先计算出角的总个数，再减去钝角和直角的个数. 二、角平分线的特征及其应用，角的和、差、倍、分关系及其转化 例2 如图14-3，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MON内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线. 求证：（1）∠MON=（∠BON-∠AON）； （2）∠MOG=（∠AOG+∠BOG）. 解析 （1）∵OM平分∠AOB， ∴∠BOM=∠AOM， ∴∠BON-∠AON=∠BOM+∠MON-（∠AOM-∠MON）=2∠MON， ∴∠MON=（∠BON-∠AON）. （2）∵OM平分∠AOB， ∴2∠BOM=∠AOB， ∴∠AOG+∠BOG=∠AOB+2∠BOG=2∠BOM+2∠BOG=2（∠BOM+∠BOG）=2∠MOG. ∴∠MOG=（∠AOG+∠BOG）. 点评 从等式的一边出发，利用角的和、差、倍、分关系进行转化是证明关于角的等式的一般方法. 例3 如图14-4，从O点引出6条射线，OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB=100°，OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE，∠EOF=140°，求∠COD的度数. 解析 ∵∠AOB=100°，∠EOF=140° ∴∠AOE+∠BOF=360°-∠AOB-∠EOF=120° ∵OF平分∠BOC， ∴∠BOF=∠FOC. 又∵∠AOE=∠DOE， ∴∠DOE+∠FOC=∠AOE+∠BOF=120°， ∴∠COD=∠EOF-（∠DOE+∠FOC）=140°-120°=20°. 点评 （1）角平分线的性质：OP是∠AOB的平分线，则有∠AOP=∠BOP=∠AOB； （2）角往往可以看成另外几个角的和或差，从而将其中的一些角利用相等或倍数关系进行转化，重新组合形成新的角； （3）关于角的计算往往可以引入方程的思想来解决问题. 三、互余和互补及角的转化 例4 如图14-5，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分 ∠COD，图中与∠DOE互余的角有 ；与∠DOE互补的角有 . 解析 ∵∠FOD=90°， ∴∠EOD+∠EOF=90°. ∵∠AOE=90°，∴∠EOB=90°， ∵∠EOD+∠DOB=90°， ∴∠FOE=∠BOD. ∵OB平分∠COD， ∴∠BOC=∠BOD=∠EOF， ∴与∠DOE互余的角有：∠BOC、∠BOD、∠EOF； 与∠DOE互补的角有：∠FOB、∠EOC. 点评 （1）互余和互补是角的两种特殊关系，是通过角的度数表现出来的； （2）角的互余和互补关系往往是通过一些图形的特点反映出来的，通常的互余关系有如图14-6所示的几种图形. （3）利用同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等，这一性质可以进行角的转化，是角的转化的一个重要的桥梁。 例5 （1）如图14-7（1），已知∠AOD=∠BOC，你能得到什么结论？ （2）如图14-7（2），已知AC=BD，你能得到什么结论？ （3）如图14-7（3），已知∠ABC=60°，∠APB=∠CPB=∠APC，你能得到什么结论？ 解析 （1）∵∠AOD=∠BOC， ∴∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD， 即∠AOC=∠BOD. （2）∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， 即AD=BC. （3）∵∠APB=∠CPB=∠APC，∠APB+∠CPB+∠APC=360°， ∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°， ∴∠PAB+∠PBA=60°，∠PBC+∠PCB=60°. 而∠ABP+∠PBC=∠ABC=60°， ∴∠PAB=∠PBC，∠ABP=∠PCB. 点评 同角的余角相等，实际上是以上几种情况的特殊情况，这种思维方法可以将一些分散的角集中 ... ...
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