第六讲 一次方程组 【趣题引路】 已知方程组 由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了②中的，得到的方程组的解为试求出原方程组的正确解. 解析 依题意有： 是方程的解. 是方程（原文档错误）的解.分别代入方程有，原方程组应为，得把代入③式，得，所以. 点评：甲看错了，根据方程组的解的意义，并不影响是方程的解.同理是方程的解，分别代入，可以求出，从而易求出原方程组的解. 【知识延伸】 方程组的解 方程组的解是指能使方程组中每一个方程两边都相等的未知数的值. 例1 已知方程组与有相同的解，则的值为（ ） A． B. C. D. 解析 由方程组的解的意义可知，它的解满足方程组，解之得，代入，得，即. 故选D. 点评：两方程组有相同的解，根据解的意义，可得四个方程重新分组所得到的解仍然相同.通常只需两个已知系数的方程就可以求出方程组的解.将解代入未知系数方程，即可求出未知系数. 方程组的解的存在性讨论 例2 试解方程组（1）；（2）；（3）. 结合方程的特点，试对方程组的解的存在性进行讨论. 解析 （1）易求出方程组（1）有唯一一组解：. （2）方程组中的第二个方程实际上是由第一个方程两边乘以2变形而成，实际上只有一个独立的二元一次方程，故有无数多组解. （3）将方程两边同乘以2得，而与矛盾，无解. 结合系数的特点发现，关于的方程组的解的存在性规律： 若，则方程组有唯一一组解； 若，则方程组有无数多组解； 若，则方程组无解. 例3 为何值时，方程组 （1）有唯一的一组解； （2）有无数多组解； （3）无解. 解析 （1）若有唯一的一组解，则有，即； （2）若有无数组解，则，即； （3）若无解，则有，即. 点评：一般地讨论二元一次方程组的解的存在性，先将方程组化成一般形式，避免符号的错误，然后应用前面总结出的规律易解. 一次方程组的解法 解方程组的基本思路是消元，通常有代入法、加减法、整体代入等方法. 例4 解方程组 解析 ①得 ，即 ③ 解方程组，用代入法得. 点评：本题若直接将某个未知数系数化成相同，则会非常麻烦，结合题目中系数的特点，先将两式相加，出现方程，则使运算简化. 例5 解方程组 解析 由②得，即 把①代入③得，解之得.把代入①得，所以. 点评：这种方程常用于利率问题中，解方程时，不要生搬硬套代入法或加减消元法，将②式去掉百分号后，凑出，整体代入求解十分方便. 例6 解方程组 解析 ①+②+③得，即 ④ ④-②得，④-③得，④-①得. 所以. 点评：将几个方程两边分别相加或相减（原文档错误）是一种解方程组的常用手段，一般适用于方程中每个未知数的系数特点相同时进行. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1 若是关于与的二元一次方程，则的值等于_____. 解析 根据二元一次方程的特点有，即 ①+②得，，. 点评：二元一次方程的特点是只含两个未知数，且未知数的次数是1，得到关于的二元一次方程组后，没有选择直接求出，而是只要求出的值，所以只要消掉常数项后，就可以很容易地求出的值. 例2 若关于x与y的方程组的解x与y的值之和为6，则k＝_____． 解析 ①＋②得5x＋y＝6k＋4， 4x＋（x＋y）＝6k＋4. ∵x＋y＝6， ∴4x＝6k－2， 2x＝3k－1， 将上式代入①得3y＝－k＋2， ∴x＝，y＝， ∴＋＝6， 解之得k＝5． 点评 此题实际上是一个三元一次方程组，基本思想是消元，在处理的过程中注意使用整体代入等方法使运算简便． 中考真题欣赏 例（江苏省苏州市中考题）解方程组号：． 由②得7x－2（2x＋y）＝13.③ 把①代入③得7x－8＝13， x＝3. 将x＝3代入①得 y＝－2 ∴． 点评 将②式中凑出2x＋y来，使用整体代入是一种有效的方法，当然本题直接使用代入法或加减法也易求解． 竞赛样题展示 例1 （1991年全国初中联赛题）若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c ... ...
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