第二十一讲 应用题 【趣题引路】 2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题： 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 解：从A城出发到达B城的路线分成如下两类： （1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需要最短时间为26h，从O城到B城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h）. （2）从A城出发到达B城，不经过O城。这时从A城到达B城，必定经过C，D，E城或F，G，H城，所需时间至少为49h. 综上，从A城到达B城所需的最短时间为48h，所走的路线为A→F→0→E→B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）. 在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。 【知识拓展】 当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下： 在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等. 一、用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法. 例1：（2003年安徽中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示： 景点 A B C D E 原价（元） 10 10 15 20 25 现价（元） 5 5 15 25 30 平均日人数（千人） 1 1 2 3 2 （1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平.问风景区是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.问游客是怎样计算的？ （3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 解析：抓住“平均价格”“平均日总收入”等关键词. 解：（1）风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：（元）. 调整后的平均价格：（元）. 所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平. （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160（千元）， 现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元）， 故平均日总收入增加了：. （3）游客的说法较能反映整体实际. 二、用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界. 例2：（2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min内可以通过800名学生. （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由. 解析：列方程（组）的关键 ... ...
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