第三讲 因式分解的应用 【趣题引路】 考考你：等于多少？ 想一想立方和公式，设a＝22223，b＝11112，a－b＝11111，故原式＝ ＝＝＝＝．这是因式分解的魔力！想知道因式分解在哪些方面有用吗？怎样用好这个工具？本讲将告诉你答案． 【知识拓展】 因式分解是代数变形的重要工具．它在数值计算、代数式的化简、恒等式的证明、不定方程、几何证明等方面都有广泛应用．下面举例说明． 一、利用因式分解化简求值 例1 若a是方程x2－3x＋1＝0的一个根，试求2a5－5a4＋2a3－8a2＋3a的值． 解析 依题意有a2－3a＋1＝0，设法弄清所求代数式与a2－3a＋1的联系，通过分解可使原式变成包含a2－3a＋1的代数式． 解：∵a是x2－3x＋1＝0的根， ∴a2－3a＋1＝0． 原式＝2a3(a2－3a＋1)＋a4－8a2＋3a ＝2a3(a2－3a＋1)＋a2(a2－3a＋1)＋3a(a2－3a＋1) ＝0． 点评：本题也可将a2－3a＝－1反复代入原式化简求之． 例2 化简： ·． 解析 式子中出现1997，1998，2000，2001，如设其中一个为x，则其余三个均用含x的式子表示，从而将问题转化为含x的代数式化简问题． 解：设1998＝x，则 原式＝＝＝1． 点评：这是一种换元的思想．换元时通常取几个数(或式)的算术平均数较为简单． 二、利用因式分解证明等式(不等式) 例3 设a，b，c，d满足a≤b，c≤d，a＋b＝c＋d≠0，a3＋b3＝c3＋d3，求证；a＝c，b＝d． 解析 由a3＋b3＝c3＋d3使人想起立方和公式，展开后两边约去a＋b和c＋d，问题简化． 证明：由a3＋b3＝c3＋d3得 (a＋b)(a2－ab＋b2)＝(c＋d)(c2－cd＋d2)． 由于a＋b＝c＋d≠0， 故a2－ab＋b2＝c2－cd＋d2． 配方(a＋b)2－3ab＝(c＋d)2－3cd． 从而ab＝cd． 于是(a2－ab＋b2)－ab＝(c2－cd＋d2)－cd． 即(a－b)2＝(c－d)2． 而a≤b，c≤d， 故b－a＝d－c，与已知式a＋b＝c＋d比较得b＝d，a＝c． 例4 设a、b、c是三角形三条边，求证：a2－b2－c2－2bc＜0． 解析 利用因式分解将所证不等式左边进行变形从而得到三边的易判断的关系． 证明：∵a2－b2－c2－2bc＝a2－(b＋c)2＝(a＋b＋c)(a－b－c)． ∴需证(a＋b＋c)(a－b－c)＜0． 又∵a，b，c是三角形三条边， ∴a＋b＋c＞0，a＜b＋c．∴(a＋b＋c)(a－b－c)＜0，原式得证． 三、利用因式分解解方程(组) 例5 (2001年北京初二竞赛试题)已知实数x，y满足方程组，则：|x＋y＋1|＝ ． 解析 方程中出现x＋y，xy，x2＋y2，使人想到完全平方公式，将x＋y看作整体处理，消去xy，分解因式得x＋y．通常：若ab＝0，则a＝0或b＝0． 解：由x2＋y2＝6得(x＋y)2＝6＋2xy． ① 由x＋xy＋y＝2＋3得xy＝2＋3－(x＋y)． ② 将②代人①得(x＋y)2＋2(x＋y)－(10＋6)＝0． 即(x＋y)2＋2(x＋y)－(4＋)(2＋)＝0． 故(x＋y＋4＋)(x＋y－2－)＝0． ∴x＋y＝－4－或x＋y＝2＋ ∴|x＋y＋1|＝3＋． 点评：10＋6＝8＋6＋2＝(4＋)(2＋)很关键． 例6 (上海竞赛题)求方程6xy＋4x－9y－7＝0的整数解． 解析 利用整数性质，将方程左边化成两个因式的乘积再分情况讨论． 解：方程可化为 2x(3y＋2)－3(3y＋2)－1＝0， (2x－3)(3y＋2)＝1． ∴或． 解得x＝1，y＝－1． 四、利用因式分解研究整除问题 例7 (1999年全国联赛试题)某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn＋9m＋11n＋145)元，已知每人的捐款数相 同，且都是整数，求每人的捐款数. 解析 涉及整数问题常常要对已知式进行因式分解. 解 依题意mn＋9m＋11n＋145＝(m＋11)(n＋9)＋46 可知：(m＋11)整除(mn＋9m＋11n＋145)， (n＋9)整除(mn＋9m＋11n＋145)且m＋11＝n＋9， 故 m＋11和n＋9均整除46， 而46＝46×1＝23×2. 所以，m＋11＝n＋9＝46或m＋11＝n＋9＝23 由此可得每人捐款数为47元或25元. 【好题妙解】 佳 ... ...
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