第二十讲 点共线与线共点 【趣题引路】 例1 证明梅涅劳斯定理： 如图20-1，在△ABC中，一直线截△ABC的三边AB、AC及BC的延长线于D、E、F三点。 求证： 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C作CG/∥EF交AB于G. ∴ 例2 证明塞瓦定理： 如图20-2，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与BC、CA、AB相交于D、E、F，求证： 证明 ∴ 【知识拓展】 1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。 2.证明三点共线的方法是： （1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB±BC=AC时，A、B、C三点共线。 （3）用同一方法证明A、B、C中一点必在另两点的连线上。 （4）当AB、BC平行于同一直线时，A、B、C三点共线。 （5）若B在PQ上，A、C在P、Q两侧，∠ABP=∠CBQ时，A、B、C三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是： （1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点. （3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。 （4）利用塞瓦定理的逆定理。 在证题过程中要根据题意灵活选用方法。 例1 如图20-3，已知BD=CE，求证：AC·EF=AB·DF. 解析 等积转化为等比，由比例式可看出直线BCF截△ADE的三边， 即可用梅氏定理加以证明. 证明直线BF交△ADE三边所在直线于B、C、F. 由梅氏定理得： ∵ AB·DF=EF·AC. 例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4，在正△ABC的边BC、CA、AB上分别有内分点D、E、F，将边分成2：（n-2）（其中n>4），线段AD，BE，CF相交所成的△PQR的面积是△ABC面积的，则n的值是（ ） A:5 B:6 C:7 D:8 解析 ，由梅氏定理有 ∴ 同理 由已知，解得n=6. 故选B. 例3 如图20-5，△ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P，∠B的平分线交AC于Q，∠C的平分线交AB于R，求证：P、Q、R三点共线. 解析：∵ AP为∠BAC的外角平分线， BQ为角平分线，同理得： ∵ P、Q、R三点共线. 例4 求证：三角形的三条角平分线交于一点 已知：如图20-6，AD、BE、CF分别为角平分线，求证：AD、BE、CF交于一点 解析：∵ AD为∠BAC的平分线， 同理得： 由塞瓦定理得AD、BE、CF交于一点。 【好题妙解】 佳题新题品味 例 如图20-7，已知G是△ABC的重心，M、N是GB、CC的中点延长AC至E，使CE=AC；又延长AB至F，使BF=AB.求证：AG、ME、NF三线共点。 解析:设AG、BG、CG交BC、CA、AB于X、Y、Z，则 GY=BY=MG，YC=AC=CE， 从而GC//ME. 又M是BC的中点，故ME过BC的中点X，同理NF也过BC的中点X,从而AG、EM、NF三线共点. 中考真题欣赏 例 如图20-8，已知等边△ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边△PCD，等边△QAE和等边△RAB.问R、B、P三点是否共线，若共线判断△PQR是什么三角形，若不共线，请说明理由。 解析：要判断R、B、P三点是否共线，可判断∠RBC与∠PBC的和是否等于180°于是，我们以C点为中心，将△CAD逆时针旋转60°，这时A点与B点重合，D点与P点重合。不难证明∠RBC+∠PBC=180°，故R、B、P三点共线，△PQR是等边三角形。 证明连结BP， ∵△ABC和△DPC都是等边三角形， AC=BC，DC=PC， 又∠ACD=60°-∠DCB=∠BCP， △CAD△CBP ∠PBC=∠BAC=60°. 又∠RBC=60°+60°=120° ∠RBC+∠PBC=180°. 故R、B、P三点共线. 易知∠RAQ=60°+60°+60°=180°，R、A、Q三点共线. 而△CAD△CBP， BP=AD=AE=AQ. RP=RQ，且∠R=60°， 故△PQR是等边三角形。 竞赛样题展示 例1 如图20-9，已知AD、BE、CF为△ABC外接圆的切线，AD、BE、CF分别交BC、 ... ...
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