第十八讲 与圆有关的计算 【趣题引路】 拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家，又是一个数学爱好者. 一次他在远征埃及的航海途中，问部下：“怎样光用圆规把圆分成四等份？”大家面面相觑，还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗？ 解析（1）先用圆规画一个已知圆.如图18－1（1）. （2）在已知圆中，画4个相同的小圆，它们的直径等于已知圆的半径，如图18－1（2）. （3）在4个小圆相交的图形中，4个偏月牙形就是面积完全相同的图形，如图18－1（3）. 【知识延伸】 与圆有关的计算，着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长，扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题，对于以上问题，首先要理解概念，熟记公式，法则，其次要会灵活运用各方面的知识如正n边形的计算可以集中在正n边形的半径、边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形中，通过解直角三角形或三角形相似来解决. 【例1】如图18－2，正五边形ABCDE的边长为10，它的对角线分别交于点A1，B1，C1，D1，E1. （1）求证：D1把线段AE1分成黄金分割； （2）求五边形A1B1C1D1E1的边长. 证明（1）作正五边形的外接圆O， ∵＝72°. ∴∠D1AB＝∠D1BA＝∠E1BD1＝36°.又∠BE1D1＝∠BD1E1＝72°， ∴AD1＝D1B＝BE. ∴△ABE1∽(BD1E， ∴，即 ∴.AD12＝AE1·D1E1，即D1把线段AE1分成黄金分割. （2）设D1E1＝x，则AE1＝AB＝10，AD1＝10－D1E1＝10－x. ∴（10－x）2＝10x，即x2－30x＋100＝0. 解之，得（舍去）. ∴D1E1＝15－. 【点评】对于正多边形的计算，要注意利用相似三角形的性质去解，在本题的计算中，用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点. 在计算与面积有关问题时，等积变形，把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求，是经常使用的方法. 【例2】如图18－3，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点F，交BA的延长线于点E.求阴影部分的面积. 解析：连结BF， ∵BF＝BC＝2，AB＝1，∠BAF＝90°. ∴∠ABF＝60° 在Rt△ABF中，， ∴ 【点评】阴影部分是不规则图形，无法直接计算，设法利用规则图形面积来计算连结BF，则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积. 在处理展开图问题时，一定不要弄错对应关系，如圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆维底面圆的周长等. 【例3】如图18一4，一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆；求圆锥的侧面积. 【解析】设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为l 由题意，得c＝，又∵c＝2πr， ∴＝2πr，得l＝2r. ① 在Rt△SOA中. ② 由①，②解得， . ∴所来圆锥的侧面积为S＝πrl＝(cm2) 【点评】经过圆锥高（即轴）的截面所揭示的母线、高、底面半径.锥角等元素之间的关系是解题的突破口，也是圆中几种重之间的基本关系 【好题妙解】 佳题新题品味 【例1】已知如图18－5，AC切于点A，点B在上，AB＝AC＝AO，OC、BC分别交于点E、F. 求证：EF是的内接正二十四边形的一边. 证明：连结OB，OF，因AC是的切线，∴∠OAC＝90°，∵AC＝AO，∴∠A0C＝45. ∵AB＝AO＝BD，∴△ABO是等边三角形.∴∠BAO＝60° ∴∠BAC＝60°＋90°＝150°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝15°. ∴∠AOF＝2∠ABC＝30°. .∴EOF＝∠AOC－∠AOF＝45°－30°＝15°. ∵正二十四边形的中心角为360°÷24＝15°， ∴EF是正二十四边形的一边. 【点评】证明一条弦是正多边形的一边需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边，需证这条边所对的圆心角为120°，证一条弦是正六边形的一边，需证这条弦所对的圆心角为60°. 【例2】如图18－6，与内切于点P，过P的直线交于点A，交于点，AC切于点C，交于点D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程的 ... ...
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