2019-2020学年人教A版必修 第二册 6.2.4 向量的数量积课件

(课件网) 6.2.4　 向量的数量积 1.向量的夹角 定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一 点，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角(如图所示). (1)范围：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π. (2)当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向. (3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作a⊥b. 【思考】 (1)等边△ABC中，向量 所成的角是60°吗？ 提示：向量 所成的角是120°. (2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同 吗？ 提示：向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们 分别是[0，π]和 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ.? 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【思考】 (1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？ 提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式. (2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？ 提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数. 3.投影向量的概念 如图所示： =a， =b，过B作BB1垂直于直线OA， 垂足为B1，则 叫做b在向量a上的投影向量，得 | |=|b||cos θ|. 4.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角. (1)垂直的条件：a⊥b?a·b=0. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|； 当a与b反向时，a·b=-|a||b|. (3)模长公式：a·a=|a|2或|a|= (4)夹角公式：cos θ=_____.? (5)|a·b|≤|a||b|. 【思考】 (1)对于任意向量a与b，“a⊥b?a·b=0”总成立吗？ 提示：当向量a与b中存在零向量时，总有a·b=0，但是向量a与b不垂直. (2)当“cos θ= ”为负值时，说明向量a与b的夹 角为钝角，对吗？ 提示：不对，cos θ= =-1时，向量a与b的夹角为 180°. 5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 【思考】 “若a·b=a·c，则b=c”成立吗？ 提示：不成立. 【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量. (　　) (2)对于向量a，b，若a·b=0，则a=0或b=0. (　　) (3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (　　) 提示：(1)×.两个向量的数量积没有方向，是实数，不是向量. (2)×.a·b=0，还可能有a⊥b. (3)√. 2.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，则 = (　　) A.20 B.-20 C.20 D.-20 【解析】选B. =| || |cos 120°=5×8× =-20. 3.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角θ为120°，则a·(4b) 的值为 (　　) A.12 B.-12 C.12 D.-12 【解析】选B.由题意，得a·(4b)=4(a·b)= 4|a||b|cos θ=4×2×3×cos 120°=-12. 类型一　向量数量积的计算及其几何意义 【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|= 1，a·b=-1，则a·(2a-b)= (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.4 B.3 C.2 D.0 2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， E，F分别为BC，CD的中点，则 = (　　) 3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，则a在b方向上的投影为_____，b在a方向上的投影为_____.? 【思维·引】 1.利用向量数量积的定义与运算律计算. 2.先分别用基向量 表示 再利用向量数 量积的定义与运算律计算. 3.向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ= 向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos θ= 【解析】 1.选B.因为|a|=1，a·b=-1， 所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3. 2.选D.在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD=60°，所以 =2×2×cos 60°=2， 又因为 所以 3.设a与b的夹角为θ，则有 a·b=|a|·|b|cos θ=-12， 所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ= = 向量b在向量a方向 ... ...