拉格朗日中值定理

(课件网) 拉格朗日中值定理 罗尔（Rolle）定理 实际上, C点处的切线与弦 AB 平行. 几何解释: 把上图做一旋转，得到下图： C C点处的切线与弦线 AB 平行. C 拉格朗日（Lagrange）中值定理 弦AB斜率 切线斜率 此条件太苛刻 有限增量公式 ( C 为常数 ) 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 引入新课 新课讲授 小结与作业 导数的几何意义： y=f(x) 0 x y 引 入 新 课 例题 α 引例. 解： A B P 0 x y 注：这个例题反映了一个一般事实，可以写成下面的定理。 返回 (A) 一.拉格朗日中值定理 推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f'(x)≡0 则在此区间内f(x)≡c(常数）。 注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。 例题与练习 新 课 讲 授 (B)练习1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值 定理条件的是_____ (A)例1.求函数f(x)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉 格朗日中值定理的ξ值。 解： f(1)-f(0)=3 ∴2ξ+2=3 1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x| 4)f(x)=arctanx 下一页 二.函数单调性的判定法 0 x y 0 x y a b A B a b A B 几何特征： 定理：设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在（a、b)内可导. 1）若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2）若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。 y=f(x) y=f(x) 证明 f '(x)>0 f '(x)<0 证明 在(a、b)内任取两点x1,x2且x10,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴y=f(x)在[a、b]上单调增加 同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少 注：1）上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。 2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少). 例题 (A)例1. 判定y=x3的单调性 y'=3x2 当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0 ∴x∈(-∞,+∞) y单调增加 0 x y (A) 例2.判断下列函数的单调性 下一页 解： 解： 1） 定义域为(-∞、+∞) 2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 3)列表： 令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2 4）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞） 单调减区间为（1、2）。 x y' y (-∞、1) + 1 0 （1、2） - + (2、+∞) 2 0 (B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。 下一页 (C)例4： 解： 1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞). 3)列表: (-∞、-2) + -2 0 （-1、0） - 0 0 + (0、+∞) 4） 由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞) 单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。 x y’ y （-2、-1） - 返回 三.小结与作业 1.拉格朗日中值定理及推论。 2.函数单调性的判定方法与步骤。 3.作业：<教与学> P40 : (A)1.(1) (B)3.(3) (4) (C)3.(6) 小 结 与 作 业 返回 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 引入新课 新课讲授 小结与作业 拉格朗日中值定理 函数单调性的判定法 拉格朗日中值定理 几何直观 一. 教材分析 （1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排 一. 教材分析 微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有很重要的地位. 拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。 （一）教材的地位和作用 一. 教材分 ... ...