课件31张PPT。本讲整合提升专题一 如何正确使用数学归纳法 开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手，本专题将对几种常见的错误及归纳步骤证明的基本方法进行讨论，以帮助读者进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，明确如何正确使用数学归纳法.一、两步缺一不可 1.缺第二步不可 有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k＋1)成立是必然的.因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样.显然这是不正确的，产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看.●方法技巧 我们现在可以把数学归纳法形象地比喻作攀登一个无穷的梯子的过程，证明的第一步验证P(1)成立，这表明我们能够登上这一梯子的第一级；证明了能够从P(k)过渡到P(k＋1)，就相当于我们有能力从梯子的任何一级登上更高的一级.只有同时具备了这两种能力，我们才能到达梯子的任何一级，这相当于只有同时完成了数学归纳法的两个步骤，才能保证对于任意的正整数n，P(n)成立.缺少数学归纳法的第一步，这表明我们不能登上梯子的第一级，而在这种情况下，纵然有从任何一级升到更高一级的本领也是没有用的；缺少证明的第二步，这表明即使我们登上梯子的第一级，但是我们还是不具备从任何一级登上更高一级的能力，那么我们就不能无限地攀登上去，因此，数学归纳法证明中，两个步骤互相联系，不可分裂，缺一不可.二、错在哪里 解数学题时，有时出现一些错误是不足为怪的，问题是怎样对待这些错误，如果我们善于利用各种错误的解法，分析产生的原因，研究纠正的方法，从中吸取教训，无疑这对有关数学概念、方法的理解及掌握是非常有益的，经验告诉我们，有时甚至比正面说明应该怎样做印象更深刻.下面进一步对数学归纳法证明中常见的错误进行分析，这对正确理解和掌握数学归纳法同样是十分有益的.●方法技巧 上述“证明”只是表面上套用数学归纳法的模式，不明白第二步中递推性的意义，这里由P(k)到P(k＋1)并没有推导过程，只是把原来等式中的n分别换成了k和k＋1而已，因此并不能保证可由P(k)过渡到P(k＋1)，没有递推功能也就不能断言对于任意的自然数n等式都成立. 第二步证明应改为以下的叙述就对了：专题二 数学归纳法证题的常用技巧 在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法 用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法.●方法技巧 在第二步的证明中，利用了分析法.2.放缩法 涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法.思路点拨 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论.但要注意从n＝k变化到n＝k＋1时增了多少项，少了多少项，一般用f(k＋1)－f(k)来研究增加或减少的项的多少.3.递推法 用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡.●方法技巧 数列类问题用数学归纳法证明时，一般先用递推公式，后用归纳假设.4.几何问题 “几何类”命题的证题关键是先要从证n＝k＋1时命题成立的结论中，分解出n＝k时命题成立的部分，然后去证余下的部分.●方法技巧 利用数学归纳法证明几何问题，关键 ... ...
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