2-2-2 [综合提升案·核心素养达成] [限时45分钟；满分80分] 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用 ①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论 A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③ 解析 由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的． 答案 C 2．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析———方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A. 答案 A 3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为 A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数 解析 自然数a，b，c中为偶数的情况为：a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数． 答案 B 4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为 A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线． 答案 C 5．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则 A．a，b，c都是正数 B．a，b，c都大于1 C．a，b，c都小于2 D．a，b，c中至少有一个不小于 解析 假设a，b，c均小于，则a＋2·b＋c＜＋1＋＝2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于. 答案 D 6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 必要性显然，充分性：若PQR＞0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，R＞0，因为P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a， 所以a＋b＋b＋c＜c＋a，即b＜0，这与b＞0矛盾， 所以P，Q，R同时大于零． 答案 C 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bc＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：_____． 解析———至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”． 答案 a，b，c，d全是负数 8．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 lg x 2a－b a＋c 3－3a－3c 4a－2b 3a－b＋c＋1 请将错误的一个改正为lg_____＝_____． 解析 ∵lg 9＝2lg 3，4a－2b＝2(2a－b)，因为表中的对数值有且仅有一个是错误的，而3和9的对数值正确，lg 5＝1－lg 2，lg 8＝3lg 2，∴3lg 5＋lg 8＝3，故5和8的对数值也不能都错，故只有15的对数值错误，应改正为lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c. 答案 15；3a－b＋c 9．设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_____．(填序号) 解析 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出． 若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出． 对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1， 反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1. 答案 ③ ... ...
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