2-2-1 [课后提升案·素养达成] [限时45分钟；满分80分] 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．关于综合法和分析法的说法错误的是 A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B．综合法又叫顺推证法或由因导果法 C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D．分析法又叫逆推证法或执果索因法 答案 C 2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为 A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定 解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex， 当x＜0时，0＜b＜1， 所以a＞b. 答案 A 3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝ A．2 B．－2 C. D．－ 解析 因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，且S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－. 答案 D 4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为 A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析 因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数， 所以f≤f()≤f. 答案 A 5．m＝＋，n＝＋(a≥0)，则有 A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能确定 解析 要比较m，n的大小，可比较m2＝2a＋5＋2，n2＝2a＋5＋2，只要比较a2＋5a与a2＋5a＋6的大小， 因为a2＋5a＋6＞a2＋5a， 所以＋＜＋(a≥0)，即m＜n. 答案 A 6．设a，b，m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是 A.＜＜1 B.≥ C.≤≤1 D．1＜＜ 解析 可证明＜成立，要证明＜，由于a，b，m都是正整数，故只需证ab＋am＜ab＋bm，即证(a－b)m＜0，因为a＜b，所以(a－b)m＜0成立． 答案 B 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．若f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－，f(1)＝1，f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝_____． 解析 ∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)， ∴4是f(x)的一个周期，∴f(2)－f(3)＝－f(－2)－f(－1)＝－f(－2)＋f(1)＝－2＋1＝－1. 答案 －1 8．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为CC1⊥底面A1B1C1D1，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可． 答案 对角线互相垂直 9．a＞b＞c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为_____． 解析 由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0， 要使＋≥恒成立．只需＋≥n恒成立， 只需＋≥n恒成立， 显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)， 所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4. 答案 4 三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(11分)已知a，b，c，d∈R，求证： ac＋bd≤. 证明 ①当ac＋bd≤0时，显然成立， ②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2， 即证2abcd≤b2c2＋a2d2，即证0≤(bc－ad)2， 因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立， 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 11．(11分)已知a，b，c为不全相等的正数． 求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明 要证＋＋＞a＋b＋c， 只要证＞a＋b＋c， ∵a，b，c＞0，只要证(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)， 由公式知(bc)2＋(ac)2≥2abc2， (ac)2＋(ab)2≥2a2bc，(bc)2＋(ab)2≥2ab2c， ∵a，b，c不全相等，上面各式等号至少有一个不成立，三式相加，得2[(bc)2＋(ac)2＋(ab)2]＞2abc2＋2a2bc＋2ab2c＝2abc(a＋b＋c)， 即(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)成立， ∴＋＋＞a＋b＋c成立． 12．(13分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a ... ...
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