平面向量的线性运算 【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算． 3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【典型例题】 类型一：向量的加法运算 例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++． 【解析】 利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则． 利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则． 【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则． 举一反三： 【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：． 【证明】如图所示，在四边形CDEF中，， 所以． 在四边形ABFE中，，所以． 所以． 因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以． 【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识． 类型二：向量的减法运算 例2．（1）在平面内任画两个非零向量、，求作－； （2）如图，已知不共线的两个非零向量、，求作向量―，―． 【解析】 （1）①当、共线时，若、同向，如下图甲．任取一点A，作，，则． 若、反向，如上图乙．任取一点，作，，则． ②当、不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作，，则． ． （2）作，，则，，如图（右）． 【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键． （2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点． 举一反三： 【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（ ）． （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 【答案】Ｂ 【变式2】化简 【解析】原式=． 类型三：与向量的模有关的问题 例3．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值； （2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小． 【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度． 【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6， ∴|++|的最大值为6． （2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示． ∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形， ∴，， 于是， ∴． 【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形———借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）． 举一反三： 【变式1】已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值． 【解析】 如图，，，则． 以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则． 由于． 故， 所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形． 根据矩形的对角线相等有，即|+|=4． 类型四：向量的数乘运算 例4． 计算下列各式： （1）4(+)―3(―)； （2）3(―2+)―(2+―3)； （3）． 【解析】 （1）原式=4―3+4+3=+7． （2）原式=3―6+3―2―+3=―7+6． （3）原式 ． 【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解． 举一反三： 【变式 ... ...
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