简单复合函数的导数 【学习目标】 1.理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”． 2.能熟练运用求导法则对函数进行求导. 【要点梳理】 要点一：复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。 要点二：复合函数的导数 设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作． 要点三：复合函数的求导方法 1.分层：将复合函数分出内层、外层。 2.各层求导：对内层，外层分别求导。得到 3.求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到 的导数。 要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层———求导———回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】 类型一：求复合函数的导数 例1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； 【解析】 （1）设μ=1-3x，，则 。 （2）设，y=cosμ，则 。 （3）设 【总结升华】 把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。 举一反三： 【变式】 求下列函数导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】 （1）， ∴ （2），. ∴ （3），， ∴. 例2 求下列函数导数. (1)； （2）； （3） 【解析】 (1) 令,, （2） 。 （3）设，μ=sinv，，则 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤： 【总结升华】 1.复合函数求导数的步骤是： ①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）； ②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）； ③将中间变量代回为自变量的函数。 简记为分解———求导———回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了， 即分解（复合关系）———求导（导数相乘）。 2.同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。 举一反三： 【变式1】 求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数． 【答案】 解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x ＝1－sin22 x ＝1－（1－cos 4 x） ＝＋cos 4 x． y′＝－sin 4 x． 解法二：y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′ ＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x) ＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【变式2】求下列函数导数： （1）； （2）求函数的导数（）。 【答案】（1）设u=1－2x2，则。 ∴ 。 （2）．方法一： 。 方法二：∵，∴ 。 类型二：利用导数求函数式中的参数 例3.（1），若，则a的值为（ ） A． B． C． D． （2）设函数，若是奇函数， 则=_____。 【解析】 （1）∵， ∴，∴，故选A。 （2）由于， ∴， 若是奇函数，则，即， 所以。 又因为，所以。 【总结升华】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。 举一反三： 【变式1】 已知函数过点（1，5），其导函数的图象如图所示，求的解析式。 【答案】∵， 由，，，得 ，解得， ∴函数的解析式为。 【变式2】已知是关于的多项式函数， （1）若，求； （2）若且，解不等式. 【解析】（1）显然是一个常数，所以 所以，即 所以 （2）∵，∴可设 ∵ ∴ 由，解得. 【巩固练习】 一、选择 ... ...
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