上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题（Word版含答案）

上海中学高二上期末数学试卷 2020.01 一、填空题 1. 若复数，则_____. 2. 抛物线的准线方程是_____. 3. 椭圆的焦距是_____. 4. 已知复数，满足集合，则_____. 5. 计算：_____. 6. 已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是_____. 7. 已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是_____. 8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是_____. 9. ，分别为椭圆：的左右焦点，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是_____. 10. 已知一族双曲线：，设直线与在第一象限内的交点为，在的两条渐近线上的射影分别是，，记的面积是，则_____. 11. 已知点，椭圆上两点，满足，当_____时，点横坐标的绝对值最大. 12. 已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是_____. 二、选择题 13. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 15. 给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上且位于轴的两侧，且（其中是坐标原点），则与的面积之和的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 三、解答题 17. 已知复数满足，求. 18. 已知复数（其中是虚数单位，）. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围. 19. 假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5. . （1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程； （2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞. 20. 已知曲线的参数方程是（参数）. （1）曲线的普通方程； （2）过点的直线与该曲线交于，两点，求线段中点的轨迹方程. 21. 由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球形线”，且曲线经过点. （1）求的值； （2）设，，过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于，，三点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22. 已知椭圆：经过点，，直线：与椭圆相交于，两点，与圆相切与点. （1）求椭圆的方程； （2）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（是坐标原点），求实数的取值范围； （3）线段是否为定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范围. 参考答案 一、填空题 1. 2. 3. 4 4. 1 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 5 12. ①③ 【第9题解析】设关于平分线的对称点为， 由题意及椭圆对称性，可知为等边三角形，轴且经过， ∵，∴. 【第10题解析】设，其中， 为等轴双曲线，其渐近线方程为，∴， ∴， ∴. 【第11题解析】 设直线的方程为，，， 由，知，， ∴， ①当时，，； ②当时，， 此时， 当时，取得最大值2； 综上，. 【第12题解析】由题意，点为椭圆：与椭圆：的交点（共4个），①正确；②错误；点靠近坐标轴时（或），越大，点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，此时：，：，两方程相加得，即的最小值为2，③正 ... ...