复数的四则运算 【学习目标】 1. 会进行复数的加、减运算； 2. 会进行复数乘法和除法运算； 3. 掌握共轭复数的简单性质，理解、的含义，并能灵活运用。 【要点梳理】 要点一、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 要点诠释： ①复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。 很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． ②复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。 2.复数的加法运算律: 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 要点二、复数的乘除运算 1．共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数的共轭复数为。 2．乘法运算法则： 设，（），我们规定： 要点诠释： ①两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ②在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3．乘法运算律： ①交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 ②结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 ③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 要点三、复数运算的一些技巧： 1. 的周期性：如果n∈N，则有： ，，， 2. 3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方， 即，其中z=x+yi（x，y∈R）． 【典型例题】 类型一、复数的加减运算 例1.计算： （1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) （2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i) 【解析】 （1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i （2） 解法一： 原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i。 解法二： (1―2i)―(2―3i)=―1+i， (3―4i)―(4―5i)=―1+i， …… (1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i。 将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i。 【总结升华】复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。 举一反三： 【变式】 (1)设z1=3+4i，z2=―2―i，求, (2) 已知z1=(3x+y)+(y―4x)i，z2=(4y―2x)―(5x+3y)i（x，y∈R），求z1―z2， 【答案】 (1) z1+z2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i (2) z1－z1=(3x+y)+(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x+3y)i] =[(3x+y)－(4y－2x)]+[(y－4x)+(5x+3y)]i =(5x－3y)+(x+4y)i， 类型二、复数的乘除运算 例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)． 【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算． (1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i； 解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. (2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i) ＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i； 解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i. 【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8. 举一反三： 【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数z所对应的点为（－2，1），故选B． 【变式2】计算：（1）；（2 ... ...
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