苏教版高中数学选修2-2教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：27《数系的扩充与复数》全章复习与巩固 学案

《数系的扩充与复数》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程； 2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件； 3. 了解复数的代数表示法及其几何意义； 4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：复数的基本知识 1、虚数单位，规定它的平方等于，即. 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2、形如（）的数叫做复数，记作：（）； 当b=0时，是实数； 当b≠0时，叫做虚数； 当a=0且b≠0时，叫做纯虚数. 3、两个复数相等的充要条件：若，则. 4、复数的几何意义： 复数复平面内的点 平面向量 5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作. 即. 要点诠释：（1）的周期性：如果n∈N，则有：，，，； （2）复数的共轭复数，记为； （3）. 要点二：复数的运算 设，（），则： 要点诠释：（1）设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等； （2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；； （3）作复数除法运算时，有如下技巧：． 【典型例题】 类型一：复数的概念及运算 例1. 化简下列式子： （1）； （2） ． 【解析】 （1） ； （2） ． 【总结升华】灵活利用及的特点进行计算． 举一反三： 【变式1】i是虚数单位，计算 ( ) A．-l B．1 C．-i D．i 【答案】 A 【变式2】复数等于 ( ) A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】 D 【解析】 ． 【变式3】已知复数，则_____· 【答案】 -2i 例2. 已知，(a∈R)分别对应向量，（O为原点），若向量所对应的复数为纯虚数，求a的值． 【解析】 设向量对应的复数为z， ∵ ， ∴ ． ∵ z为纯虚数， ∴ 即 ∴ ． 【总结升华】 讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手． 举一反三： 【变式1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为_____． 【答案】 1 【解析】 ，， ，由复数相等得． 【变式2】 设a，b为实数，若复数，则( ) A．， B．a＝3，b＝l C．＝， D．a＝1，b＝3 【答案】 A 【解析】 故选A． 类型二：复数的几何意义 例3. 已知复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 【解析】设复数、、所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为(x，y∈R)， ∴ 对应的复数为 ， 对应的复数为． ∵ ， ∴ ， 即 解得 ∴ 点D对应的复数为． 【总结升华】本题主要考查复数的几何意义．利用，求点D对应的复数，也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解． 举一反三： 【变式】已知复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，求向量对应的复数． 【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，由复数加减法的几何意义可得 所以对应的复数为， 所以向量对应的复数为． 例4. 复数且，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 【解析】． 由，得． ① ∵ 复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点， ∴ ． 把代入上式化简得|b|＝1． ② 又∵ z对应的点在第一象限. ∴ a＜0，b＜0． 由①②得 故所求值为，． 【总结升华】要确定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|＝4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即． 举一反三： 【变式1】复数在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 A 【解析】 ． ∴ 复数z在复平面内的对应点为，在第一象 ... ...