6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课标要求 素养要求 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算. 借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算，体会数学抽象及数学运算素养. 教材知识探究 “三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？ 问题 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a? 提示 a＝2i＋2j. 1.平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. (2)坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a＝(x，y). (4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0). 3.平面向量的坐标运算 可类比实数的加减运算法则进行记忆 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) ,教材拓展补遗 [微判断] 1.相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.(√) 2.当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(√) 3.两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(×) 提示 1.相等向量的大小相等、方向相同，与向量位置没有关系. 2.根据向量坐标运算法则用终点坐标减去起点坐标知正确. 3.求解向量差的坐标时两向量是有顺序的. [微训练] 1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( ) A.(－2，1) B.(2，－1) C.(2，0) D.(4，3) 解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B. 答案 B 2.已知＝(1，2)，A(3，4)，则B点坐标是_____. 解析 设B点的坐标为(x，y)， 则＝(x－3，y－4)＝(1，2). ∴解得 ∴B点的坐标是(4，6). 答案 (4，6) 3.根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1. 答案 a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3) [微思考] 1.如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)? 提示 不能.当a＝xi＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y). 2.向量的终点坐标与此向量的坐标完全相同吗？ 提示 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同. 题型一 平面向量的坐标表示 表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等，加减法运算求坐标，也可以用向量、点的坐标定义求坐标 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标. 解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝， b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝， c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－3 ... ...
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