（新教材）高中数学人教A版必修第二册 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示（课件:26张PPT+学案）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 课标要求 素养要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直. 通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中体会逻辑推理素养及数学运算素养. 教材知识探究 “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”———坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j， 则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2. 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0， 故a·b＝8. 8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2. 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆 2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式 数量积的主要应用有求模、求夹角、判断垂直，而此三个公式是解决此类问题的重要依据 (1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝. 教材拓展补遗 [微判断] 1.向量的模等于向量坐标的平方和.(×) 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(×) 3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(×) 提示　1.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根. 2.只有a与b为非零向量时才正确. 3.当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角. [微训练] 1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是_____. 解析　a·b＝(－1)×2＋3×4＝10. 答案　10 2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝_____. 解析　由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2. 答案　2 3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝_____. 解析　由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2. 答案　±2 [微思考] 1.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a与b平行或垂直时，有什么关系式成立？ 提示　当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0；当a⊥b时，有x1x2＋y1y2＝0，这两种公式，在使用的过程中一定要分清. 2.非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么？ 提示　(1)当θ为锐角或零角?x1x2＋y1y2>0； (2)当θ为直角?x1x2＋y1y2＝0； (3)当θ为钝角或平角?x1x2＋y1y2<0. 题型一　平面向量数量积的坐标运算  【例1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A.10 B.－10 C.3 D.－3 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 答案　B 规律方法　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 【训练1】　已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a(b ... ...