三角形相关的取值范围问题（Word版）

解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角中，，则的取值范围是 解析：由 得，所以，又所以 点评：①本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。 例2：若的三边成等比数列，所对的角依次为，则的取值范围是 解析：由题设知，又余弦定理知 所以，又所以即的取值范围是。 点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。 例3：在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）求的大小。 （2）若，求周长的取值范围。 解析：（1）由题意知， 由正弦定理得 所以，于是 （2）由正弦定理，所以 又由得，所以 。 点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。 例4：在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为 解析：又及余弦定理得，所以， 又由于，所以即 所以，又由于，故当且仅当时，的面积取最大值 点评：先利用余弦定理求的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。 例5：（2008，江苏）满足的的面积的最大值是 解析：设，则， 根据面积公式得 ① 由余弦定理得 代入①式得 由三角形三边关系有，所以， 故当时，取得最大值。 点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。 例6：已知角是三个内角，是各角的对边，向量，，且 （1）求的值。 （2）求的最大值。 解析：由，，且得 ，所以， 即，所以 （2）由余弦定理得，而 即有最小值，又， 所以有最大值（当且仅当时取等号） 所以的最大值为 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在中，，则的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 3．在中，，且所对的边满足，则实数的取值范围为 4．在锐角中，，，则的取值范围是 5．在锐角中，三个内角成等差数列，记，则的取值范围是 6．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是 7．已知外接圆的半径为，若面积且，则 ，的最大值为 8．在中，，且 （1）求证：为直角三角形 （2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围 9．在中所对的边分别为，已知 （1）若，求实数的值 （2）若，求面积的最大值。 参考答案 1． 2． 3． 4．同例1知，由正弦定理 5．易知，则 由于，所以，故 6.设所对的角分别为，由三角形三边关系有，故，易知，要保证为锐角三角形，只需，即，解得 7．由，得 由余弦定理得，故有，易得为锐角，且，即，故有， 则 （当且仅当时取等号） 即的最大值为 8．（1）由，且 得， 由正弦定理得， 由余弦定理得 整理得 又由于，故，即是直角三角形 （或者：由得， 化简得，由于，故， 即是直角三角形） （2）设内角所对的边分别为 由于外接圆的半径为，，所以， 所以 又，故，因而 故 即的周长的取值范围为 9．（1）由两边平方得 即，解得 由得 即，所以 （2）由（1）知，则， 又，所以，即， 故 ... ...