二次方程根的分布情况归纳(完整版)（Word版）

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程根的分布情况 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） ——— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 根的分布练习题 例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解：由 即 ，从而得即为所求的范围。 例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由 或即为所求的范围。 例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大） 例1、当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程的一个根在区间上，另一根在区间上； （3）方程的两根都小于0； 变题：方程的两根都小于1． （4）方程的两根都在区间上； （5）方程在区间（1，1）上有且只有一解； 例2、已知方程在区间[1，1]上有解，求实数m的取值范围． 例3、已知函数f (x)的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围． 检测反馈： 1．若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_____． 2．若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小值为 ． 3．若关于的方程只有一根在内，则_ _． 4．对于关于x的方程x2+(2m1)x+4 2m=0 求满足下列条件的m的取值范围： （1）有两个负根 （2） 两个根都小于1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 5．已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。 2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨 设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况： 即 图象 最大、最小值 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无 ... ...