（新教材）高中数学人教B版必修第三册 7．2.3　同角三角函数的基本关系式（课件:38张PPT+学案）

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 学习目标　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 知识点　同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α. 思考　同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 答案　平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠kπ＋，k∈Z. 3．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tan α＝的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝. 1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝ . 答案　－ 解析　由条件知sin α＝－ ＝－ ＝－. 2．sin2＋cos2＝ . 答案　1 3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ . 答案　－ 解析　由题意得3sin α＝－cos α≠0， ∴tan α＝－. 4．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝ . 答案　－ 解析　因为α为第四象限角， 且cos α＝， 所以sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝＝－. 一、利用同角基本关系式求值 例1　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝. 反思感悟　同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常见的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α是第几象限角，从而判断三角函数值的正负． 跟踪训练1　已知α∈，tan α＝2，则cos α＋sin α＝ . 答案　－ 解析　由已知得 由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝， 又α∈， 所以cos α<0， 所以cos α＝－，sin α＝－， 故cos α＋sin α＝－. 二、三角函数式的化简与证明 例2　(1)化简：tan α，其中α是第二象限角； 解　因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 故tan α＝tan α＝tan α ＝·＝·＝－1. (2)证明：＝. 证明　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边． 故原等式成立． 反思感悟　(1)三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． (2)含有条件的三角恒等式证明的常用方法 ①直推法：从条件直推到结论． ②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． ③换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明． 跟踪训练2　化简：·. 解　原式＝· ＝· ＝· ＝·＝±1. 三、齐次式求值问题 例3　已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 解　(1)原式＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝. 反思感悟　(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α，转化为关于tan α的式子后再求值． (2)注意例3第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练3　已知＝2，计算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解　由＝2，化简， 得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. sin α±cos α与sin αcos α之 ... ...