（新教材）高中数学人教B版必修第三册 7．3.2　正弦型函数的性质与图像（课件3份+学案）

7．3.2　正弦型函数的性质与图像(一) 学习目标　1.理解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中的A，ω，φ对图像的影响.2.会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、值域． 知识点　正弦型函数 一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0. 正弦型函数的性质 函数 性质 y＝Asin x y＝sin(x＋φ) y＝sin ωx y＝Asin(ωx＋φ) 定义域 R R R R 值域 [－|A|，|A|] [－1,1] [－1,1] [－|A|，|A|] 周期 2π 2π 一、正弦型函数的周期 例1　求下列函数的周期： (1)y＝sin； (2)y＝2sin； (3)y＝|sin x|. 解　(1)方法一　(定义法) y＝sin ＝sin＝sin， 所以周期为π. 方法二　(公式法) y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π. (2)y＝2sin中ω＝－，周期T＝＝＝4π. (3)作图如下． 观察图像可知周期为π. 反思感悟　对于形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T＝来求解，对于形如y＝|Asin ωx|的函数的周期情况常结合图像法来求解． 跟踪训练1　(1)函数y＝sin，x∈R的周期T＝_____. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为3π，则ω＝_____. 答案　(1)4　(2)± 解析　(1)T＝＝4. (2)T＝＝3π，∴|ω|＝，∴ω＝±. 二、正弦型函数的单调性 例2　求函数y＝2sin的单调区间． 解　令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数， ∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin也单调递增(减)． 由z∈(k∈Z)， 得x－∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)， 故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)． 延伸探究 1．求函数y＝2sin，x∈[0，π]的单调区间． 解　由例题知f?(x)在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减， 又x∈[0，π]， 所以y＝2sin的递增区间为，递减区间为. 2．求函数y＝2sin的单调递减区间． 解　y＝2sin＝－2sin， 令z＝x－， 又y＝sin z的递增区间为(k∈Z)． ∴当－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)， 即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)时， y＝2sin递减． ∴原函数的单调递减区间是(k∈Z)． 反思感悟　求正弦型函数的单调区间的策略 (1)结合正弦函数的图像，熟记它的单调区间． (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．当A>0时y＝Asin z与y＝sin x的单调性相同，当A<0时，y＝Asin z与y＝sin x的单调性相反． (3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)，x∈D的单调区间时，先求y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即得y＝Asin(ωx＋φ)，x∈D上的单调区间． 跟踪训练2　(1)求函数y＝1＋sin的单调递增区间为_____． 答案　，k∈Z 解析　y＝1＋sin＝－sin＋1. 由2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)． 解得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)． ∴原函数的单调递增区间为，k∈Z. (2)函数y＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间为_____． 答案　， 解析　令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又因为0≤x≤π， ∴0≤x≤或≤x≤π， ∴原函数的单调递增区间为，. 三、正弦型函数的最值、值域 例3　已知函数y＝2sin. (1)求f?(x)的最小值及相应的x的取值集合； (2)若x∈，求f?(x)的最大值、最小值． 解　(1)当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋kπ，k∈Z时，f?(x)min＝－2. ∴f?(x)min＝－2， 此时x的取值集合为. (2)令t＝2x＋， ∴y＝2sin t， ∵x∈， ∴t∈， 由正弦函数y＝2sin t的图像知， 当t＝，即x＝时，ymax＝2， 当t＝－，即x＝－时，ymin＝2sin＝－. 所以f?(x)的最大值为2，最小值为－. 反思感悟　形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围 ... ...