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课件网) 17.3 一元二次方程根的判别式 第17章 一元二次方程 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点） 导入新课 问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0, 移项，得 (x + )2 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 讲授新课 一元二次方程根的判别式 一 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ (x + )2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 . 当 b2– 4ac＞0 时, x1= , x2= 当 b2– 4ac=0 时, x1=x2= 当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根), 所以原方程没有实数根. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. > 0 = 0 < 0 ≥ 0 要点归纳 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 要点归纳 根的判别式使用方法 2.计算 的值，确定 的符号. 根的判别式的应用 二 应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围 例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B. B 应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况 例3:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 例3:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1). 解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根． 当堂练习 1.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解析： ∴ 2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. 解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, ∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . ∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0. ∴方程有两个相等的实数根． （3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根． 3.不解方程，判别关于x的方程 的 ... ...
