参数方程复习课 考点要求 1 了解参数方程的定义。 2 分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。 3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。 考点与导学 1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数(tT) （1） 这里T是的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点 。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。 2过点倾斜角为的直线的参数方程 （I）（t为参数） （i）通常称（I）为直线的参数方程的标准形式。其中t表示到上一点的有向线段的数量。 t>0时，p在上方或右方；t<0时，p在下方或左方，t=0时，p与重合。 （ii）直线的参数方程的一般形式是：（t为参数） 这里直线的倾斜角的正切（时例外）。当且仅当且b>0时. （1）中的t才具有（I）中的t所具有的几何意义。 2 圆的参数方程。 圆心在点半径为r的圆的参数方程是（为参数） 3 椭圆的参数方程。 （为参数） 4 双曲线的参数方程：（为参数） 5 抛物线的参数方程。（t为参数） 例1 已知某曲线C的参数方程为（其中t是参数，）,点M（5，4）在该曲线上。（1）求常数；（2）求曲线C的普通方程。 解：（1）由题意可知有故 ∴ （2）由已知及（1）可得，曲线C的方程为由第一个方程得代入第二个方程得：。即为所求。 〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围。 例2 圆M的参数方程为（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。 解：（1）依题意得 圆M的方程为 故圆心的坐标为M（。 （2）当变化时，圆心M的轨迹方程为（其中为参数）两式平方相加得 。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆 由于所以所有的圆M都和定圆外切，和定圆内切。 〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。 例3已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求?ABC的重心的轨迹的普通方程。 解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3）,点G的坐标为. 依题意可知：A（6，0），B（0，3） 由重心坐标公式可知 由此得： 即为所求。 〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。②“平方法”是消参的常用方法。 例4求经过点（1，1）。倾斜角为的直线截椭圆所得的弦长。 解：由条件可知直线的参数方程是：（t为参数）代入椭圆方程可得： 即设方程的两实根分别为。 则则直线截椭圆的弦长是 〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必须是标准形式。即 （t为参数）当且b>0时才是标准形式。若不满足且b>0两个条件。 则弦长为 d= 〔解题能力测试〕 1 已知某条曲线的参数方程为： 其中是参数。则该曲线是（ ） A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分 2 已知某条曲线的参数方程为 则该曲线是（ ） A 线段 B 圆弧 C 双曲线的一支 D 射线 3实数满足，则的最大值为： ；最小值为 。 4已知直线的斜率为.经过点。点M在直线上，以的数量t为参数.则直线的参数方程为： 。 5 已知直线的参数方程是（t为参数） 其中实数的范围是。 则直线的倾斜角是： 。 〔潜能强化训练〕 1 在方程（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为 （ ） A B C D 2下列参数方程（t为参数）与普通方程表示同一 ... ...
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