第二章 平面向量 §3 从速度的倍数到数乘向量 3.1 数乘向量 课时跟踪检测 一、选择题 1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)，与向量n＝e2－2e1共线，则( ) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 解析：分析选项知，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝e2－2e1＝2＝2m，∴m与n共线． 答案：D 2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表达式中正确的是( ) A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 解析：对于A，a＝0时，无意义，A错． 当a＝0时，B、C、D都对；当a≠0时，a与e同向或反向，且±|a|e＝a，故B、C不全面． 答案：D 3．如图所示，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( ) A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q C．r＝p－q D．r＝－q＋2p 解析：解法一：∵＝－3， ∴＝－2＝2＝2(－)＝2(r－q)， ∴r＝＝＋＋＝＋3＝p＋3r－3q， ∴r＝－p＋q. 解法二：r＝＝＋＝q＋＝q＋(q－p)＝q－p. 答案：A 4．设向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D 解析：由已知，得＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2， ∴∥，∴A，B，D三点共线． 答案：C 5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝( ) A．0 B． C． D．3 解析：如图，∵＝＋＝4，∴＝3. ∴＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－. 又∵＝r＋s，∴r＝，s＝－， ∴r－s＝－＝. 答案：C 6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( ) ①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e； ②存在相异实数λ，μ，使λa＋μb＝0； ③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)； ④已知梯形ABCD中，AB∥CD，＝a，＝b. A．①②④ B．①③ C．②③④ D．③④ 解析：①中，由2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e，得a＝－e，b＝－e，∴a与b共线；②中，λ，μ不同时为0，则λa＋μb＝0?a与b共线；③中x＋y＝0，若x＝y＝0时，则a与b不一定共线；④中a与b显然共线． 答案：A 二、填空题 7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于_____． 解析：由＝2得， －＝2(－)， ∴＝＋， ∴λ＝. 答案： 8．若2－(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝_____. 解析：据向量的加法、减法及数乘运算可得x＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 9．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且＝3，＝3，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n＝_____. 解析：＝＋，又m＋n＝m＋n ＝＋. ∴故(m＋n)＝2， 即m＋n＝. 答案： 三、解答题 10．有两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问：是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μ b与向量c共线？ 解：d＝λa＋μ b＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝ (2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2. 要使d∥c，则存在实数k使d＝kc， ∴(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2， ∴ ∴λ＝－2μ. ∴存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d∥c. 11．已知在平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，求. 解：解法一：由题意得，3＝＋2， ＝＋， 所以＋＝＝＋. 所以＝(－)＝. 所以与共线． 所以＝＝2. 解法二：由题意得，(－)＋2(－)＝0， ∴＋2＝0， ∴2＝，∴＝2. 12．设M是?ABCD的边AB的中点，且DM与AC相交于H，求证：＝3. 证明：∵与共线， ∴设＝λ， 同理，设＝μ. ∵＋＋＝0， ∴＋－＝0， (＋)＋－＝0， ＋＝0. 又∵与不共线， ∴ 解得λ＝3. ∴＝3. 13．过△ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值． 解：如图，设＝a，＝b， 则＝＝＝(a＋b)．∴＝－＝a－b， ＝－＝xa－yb ... ...
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