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课件网) 复数的综合问题 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习回顾 计算： ① ( -2+3i )(1+2i)+( -2-3i )(1+2i)=_____ ② =_____ ③z|=_____ ④ 若，则 z=_____ 利用z=a+bi，求一个复数的平方根，有利于后续求一元二次方程的复数根。 -4-8i 2i+1 2i+1或-2i-1 任意的复数 a+bi，都可以开方，都有两个值与之对应 1. 复数与方程 3. 复数的共轭与模 2. 复数与轨迹 5. 复数的三角形式及乘除运算的几何意义 4. 复数中的周期问题 学习目标 学习标 复数与一元二次方程 学习标 复数与方程 复数与一元二次方程 学习标 复数与方程 复数与一元二次方程 例1： 已知 ，求出这个方程所有的根。 复数与实系数一元二次方程 方法一：因式分解法 （i）(=0 因此两个根是i， i 方法二：配方法 1 1= 因此两个根是i， i 复数与实系数一元二次方程 方法三：求根公式法 ，a=1,b=2,c=2 因此两个根是i， i 方法四：a+bi代入法 注意到判别式小于零，故存在虚根，即b不为零。 原方程等价于 +2a+2+2b(a+1)i=0 +2a+2=0，2b(a+1)=0，故a=-1，b=1或-1. 复数与实系数一元二次方程 方法五：韦达定理法 性质: 结论：实系数一元二次方程的虚根成共轭出现 注意到判别式小于零，故此方程的根为a+bi与a-bi，且b不为零 利用根与系数的关系： (a+bi) +(a-bi)=-2， (a+bi) (a-bi)=2 因此两个根是i， i 复数与实系数一元二次方程 总结： 在复数域上解实系数的一元二次方程可以用 因式分解，配方法，求根公式，利用a+bi代入法，韦达定理法. 复数与实系数一元二次方程 变式训练1： 已知，求出这个方程所有的根。（试着用上述不同的方法依次求根） 提示： 注意到x=-1 是一个实根，同时上式化简为(x+1)(x2+4x+5)=0，故另外两个根为2+ i，2-i (虚跟有两个，并且互为共轭) 学习标 复数与方程 复数与实系数一元二次方程 例2： 已知，其中试讨论此方程当取何值时有虚根，并指出虚根的个数. 变式训练2： 已知，其中1+i 是此方程的一个根，求的值. 提示： a>1，有两个（互为共轭） 提示： 方法一：将根代入，利用两个复数相等的定义，得到两个方程，m=-2,n=2. 方法二：利用虚根成对出现，再利用根与系数的关系. 复数与实系数一元二次方程 思考题：在复数范围内，方程解的个数有_____个。 6 练习1：已知一元二次方程有一个根为a+3i ，求 a 与 m的值 练习2：已知一元二次方程有一个根为3+bi ，求 m的值 提示： a+3i 是虚数，则一定有a-3i是另一个根，利用根与系数的关系知 a=3, m= 18. 提示： 注意讨论b是否为0，答案是b=0, m=4 学习标 复数与方程 复数与复系数一元二次方程 学习标 复数与方程 复数与复系数一元二次方程 例3： 关于，求出此方程的t的值。 提示： 方法一： 直接令t=a+bi ，代入可得两个方程，求解即可。 方法二： 利用求根公式处理即可。 答案： t=2，t=-1-i 注意：复系数一元二次方程的虚根并没有成对出现 学习标 复数与方程 复数与复系数一元二次方程 例4： 关于有实根，求实数a的值以及此方程的根。 提示： 再利用根与系数的关系即可得到 复数与复系数一元二次方程 变式训练1：已知一元二次方程有实根，求k的值 为方程的实根，则 即 所以 消去，得 ，解得。 解： 学习标 复数与轨迹 1. 若复数 z 满足｜｜=｜ ｜，其中，是给定的两个不等复数，则表示在复平面内以点Z1、Z2为端点的线段垂直平分线的方程. 2.｜ ｜=r 表示复平面内以点Z0为圆心，半径为r的圆的方程； 或者是｜ ｜=｜ ｜， ，且，表示的也是一个圆（阿氏圆）. 3. ｜ ｜+｜ ｜=2a(2a＞｜｜>0)表示在复平面内以点Z 1、Z2为焦点，长轴是2a的椭圆方程. 4.|｜ ｜ ｜ ｜|=2a(0<2a＜｜ ｜)表示在复平面内点Z1 、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程. 学习 ... ...
