7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．(重点) 2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点) 1.通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养． 2.借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养. 1.角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分． (2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制． 2.角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝. 3.角度与弧度的互化 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π 2π 思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？ [提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}． 5．扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 思考2：在弧度制下的扇形面积公式S＝lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？ [提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆． 1.1 080°等于( ) A．1 080 B． C． D．6π D [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2.与角π终边相同的角是( ) A．π B．2kπ－π(k∈Z) C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z) C [选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B项错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π，故D项错．] 3.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为_____． 6π [扇形的面积为×62×＝6π.] 弧度制的概念 【例1】 下列命题中，假命题是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 [思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手． D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C项均为真命题．] 弧度制与角度制的区别与联系 区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值 1.下列各说法中，错误的说法是( ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D 角度制与弧度制的转换 【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． [思路探究] 由题目可获取以下主要信息： (1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角π，－π； (2)终边相同的角的表示． 解答本题(1)可先将－570° ... ...
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