江苏省2020高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法理 8.2数学归纳法课件（含课件:31张PPT及配套练习）

课件31张PPT。数 学 归 纳 法二讲第用数学归纳法证明等式题型(一)用数学归纳法证明不等式题型(二)归纳、猜想、证明题型(三)谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢第二讲 数学归纳法 题型(一) 用数学归纳法证明等式 主要考查利用数学归纳法证明与正整数有关的代数等式. [典例感悟] [例1]　设|θ|<，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝sintannθ，其前n项和为Sn. (1)求证：当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tannθ； (2)求证：对任何正整数n，S2n＝sin 2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]． [证明]　(1)因为an＝sintannθ. 当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，an＝a2k＝sintan2kθ＝sin kπ·tan2kθ＝0，an＝0. 当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，an＝a2k－1＝sintannθ＝sin·tannθ. 当k＝2m，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝－tannθ， 此时＝2m－1，an＝a2k－1＝－tannθ＝(－1)2m－1·tannθ＝(－1)tannθ. 当k＝2m－1，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝tannθ， 此时＝2m－2，an＝a2k－1＝tannθ＝(－1)2m－2·tannθ＝(－1)tannθ. 综上，当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tannθ. (2)当n＝1时，由(1)得，S2＝a1＋a2＝tan θ， 等式右边＝sin 2θ(1＋tan2θ)＝sin θ·cos θ·＝tan θ. 故n＝1时，命题成立， 假设n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立， 即S2k＝sin 2θ·[1＋(－1)k＋1tan2kθ]． 当n＝k＋1时，由(1)得： S2(k＋1)＝S2k＋a2k＋1＋a2k＋2＝S2k＋a2k＋1＝sin 2θ·＋(－1)ktan2k＋1θ＝sin 2θ·＝ sin 2θ·＝ sin 2θ·＝sin 2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ ]． 即当n＝k＋1时命题成立. 综上所述，对任何正整数n，S2n＝sin 2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]． [方法技巧] (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值． (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． [演练冲关] (2019·苏州期末)在正整数集N*上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2. (1)求证：f(3)－f(2)＝； (2)是否存在实数a，b，使得f(n)＝＋1对任意正整数n恒成立，并证明你的结论． 解：(1)证明：由f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，变形得f(n＋1)＝. 由f(1)＝2，得f(2)＝，再得f(3)＝. 所以f(3)－f(2)＝－＝. (2)法一：(数学归纳法)由f(2)＝，f(3)＝，可得a＝－，b＝. 猜想：对n∈N*，均有f(n)＝＋1. 以下用数学归纳法证明． ①当n＝1时，等式显然成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即f(k)＝＋1. 则f(k＋1)＝＝＝＝＋1， f(k)≠1，否则f(2)＝…＝f(k)＝1，但f(2)≠1. 即f(k＋1)＝＋1 ＝＋1. 即n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n∈N*，均有f(n)＝＋1. 综上所述，存在a＝－，b＝满足题意． 法二：(转化法) 因为f(n)＝＋1可变形为＋b＝an， 所以问题转化为：是否存在实数a，b，使得是公比为－的等比数列． 证明如下：由(1)得f(n＋1)＝， 即f(n＋1)－1＝， 所以＝＝＝－－·. 设＋b＝－，可得b＝. 所以是首项为＋＝，公比为－的等比数列． 通项公式为＋＝n－1， 所以f(n)＝＋1. 综上所述，存在a＝－，b＝满足题意. 题型(二) 用数学归纳法证明不等式 主要考查用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. [典例感悟] [例2]　(2019·南京模拟)已知数列{an}满足an＝3n－2，函数f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N*. (1)求证：g(2)＞； (2)求证：当n≥3时，g(n)＞ . [证明]　 (1)由题意知，an＝3n－2， g(n)＝＋＋＋…＋， 当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞.故结论成立． (2)用数学归纳法证 ... ...